高中数学人教A版必修二 模块综合测评 Word版含答案

这是一份高中数学人教版新课标A必修2本册综合同步练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为( )
A．6B．1
C．2D．4
【解析】 由题意知kAB＝eq \f(m＋4,－2－3)＝－2，∴m＝6.
【答案】 A
2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是( )
A．2x－3y－6＝0B．3x－2y－6＝0
C．3x－2y＋6＝0D．2x－3y＋6＝0
【解析】 由直线的截距式得，所求直线的方程为eq \f(x,－2)＋eq \f(y,3)＝1，即3x－2y＋6＝0.
【答案】 C
3．已知正方体外接球的体积是eq \f(32,3)π，那么正方体的棱长等于( )
A．2eq \r(2) B.eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(4\r(2),3) D.eq \f(4\r(3),3)
【解析】 设正方体的棱长为a，球的半径为R，则eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32,3)π，∴R＝2.又∵eq \r(3)a＝2R＝4，∴a＝eq \f(4\r(3),3).
【答案】 D
4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：
①点P到坐标原点的距离为eq \r(13)；
②OP的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，\f(3,2)))；
③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；
⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．
其中正确的个数是( )
A．2B．3
C．4D．5
【解析】 点P到坐标原点的距离为eq \r(12＋22＋32)＝eq \r(14)，故①错；②正确；与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.
【答案】 A
5．如图1，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1和DM所成角为( )
图1
A．30°B．45°
C．60°D．90°
【解析】 因为MN⊥DC，MN⊥MC，
所以MN⊥平面DCM.
所以MN⊥DM.
因为MN∥AD1，所以AD1⊥DM.
【答案】 D
6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于( )
图2
A．8＋2eq \r(2)B．11＋2eq \r(2)
C．14＋2eq \r(2)D．15
【解析】 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长为eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，所以底面周长为4＋eq \r(2)，侧面积为2×(4＋eq \r(2))＝8＋2eq \r(2)，两底面的面积和为2×eq \f(1,2)×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2eq \r(2)＋3＝11＋2eq \r(2).
【答案】 B
7．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞)B．(－∞，2)
C．(－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】 因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以 4＋4－4k＞0，所以k＜2.由题意知点P(1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2，所以－2＜k＜2.
【答案】 C
8．在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
【解析】 如图，取BC的中点E，连接DE、AE、AD.依题设知AE⊥平面BB1C1C.故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为2，则AE＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)，DE＝1.
∵tan∠ADE＝eq \f(AE,DE)＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3)，
∴∠ADE＝60°，故选C.
【答案】 C
9．(2015·开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )
①若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.
A．②B．②③
C．①③D．②④
【解析】 对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；
对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；
对于③，还有可能n∥β；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错．因此选A.
【答案】 A
10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，eq \r(3))，C(2，eq \r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(\r(21),3)
C.eq \f(2\r(5),3) D.eq \f(4,3)
【解析】
在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝eq \f(2,3)|AD|＝eq \f(2\r(3),3)，从而|OE|＝eq \r(|OA|2＋|AE|2)＝eq \r(1＋\f(4,3))＝eq \f(\r(21),3)，故选B.
【答案】 B
11．(2016·重庆高一检测)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若PA长度的最小值为2，则k的值是( )
【导学号：09960153】
A．3 B.eq \f(\r(21),2)
C．2eq \r(2)D．2
【解析】 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径是r＝1，
∵PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，PA长度的最小值为2，∴圆心到直线kx＋y＋4＝0的最小距离为eq \r(5)，
由点到直线的距离公式可得eq \f(|1＋4|,\r(k2＋1))＝eq \r(5)，
∵k＞0，∴k＝2，故选D.
【答案】 D
12．(2016·德州高一检测)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D­ABC的体积为( )
A.eq \f(\r(2),12)a3 B.eq \f(a3,12)
C.eq \f(\r(2),4)a3 D.eq \f(a3,6)
【解析】 取AC的中点O，如图，
则BO＝DO＝eq \f(\r(2),2)a，
又BD＝a，所以BO⊥DO，又DO⊥AC，
所以DO⊥平面ACB，
VD­ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·DO
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×a2×eq \f(\r(2),2)a＝eq \f(\r(2),12)a3.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知两条平行直线的方程分别是2x＋3y＋1＝0，mx＋6y－5＝0，则实数m＝________.
【解析】 由于两直线平行，所以eq \f(2,m)＝eq \f(3,6)≠eq \f(1,－5)，∴m＝4.
【答案】 4
14．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．
【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为R，高为h，桶直立时，水的高度为x.
横放时水桶底面在水内的面积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)πR2－\f(1,2)R2))，水的体积为
V水＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)πR2－\f(1,2)R2))h.
直立时水的体积不变，则有V水＝πR2x，
∴x∶h＝(π－2)∶4π.
【答案】 (π－2)∶4π
15．已知一个等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3,5)，另一顶点C的轨迹方程是________．
【解析】 设点C的坐标为(x，y)，
则由|AB|＝|AC|得
eq \r(x－32＋y－202)
＝eq \r(3－32＋20－52)，
化简得(x－3)2＋(y－20)2＝225.
因此顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)．
【答案】 (x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)
16．(2015·湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.
【解析】 如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝eq \f(5,\r(32＋－42))＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
【解】 若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；
若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝eq \f(|1＋5k|,\r(1＋k2))＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝eq \f(12,5).
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
综上知，满足条件的直线方程为
l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.
(1)求证：两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程．
【导学号：09960154】
【解】 (1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为eq \r(5)，故圆心距为eq \r(2－02＋－1－12)＝2eq \r(2)，又0<2eq \r(2)<2eq \r(5)，故两圆相交．
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.
19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A­BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
图3
(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC.
【证明】 (1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD∥AP.
又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，
∴DM∥平面APC.
(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，
∴MD⊥PB.又∵MD∥AP，∴AP⊥PB.
又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC.
∵BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.
又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.
又∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APC.
20．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.
(1)求△ABC的顶点B、C的坐标；
(2)若圆M经过A、B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3,0)，求圆M的方程．
【解】 (1)AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0，所以AC边所在直线的方程为x＝0，
又CD边所在直线的方程为2x－2y－1＝0，
所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，
设B(b,0)，
则AB的中点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，\f(1,2)))，
代入方程2x－2y－1＝0，
解得b＝2，
所以B(2,0)．
(2)由A(0,1)，B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x－2y－3＝0，①
由与x－y＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y＋x＋3＝0，②
①②联立可得，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(5,2)))，
半径|MA|＝eq \r(\f(1,4)＋\f(49,4))＝eq \f(\r(50),2)，
所以所求圆方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(5,2)))2＝eq \f(25,2).
21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
图4
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E­ABC的体积．
【解】 (1)证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，
BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1，
又AB⊂平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝eq \f(1,2)AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝eq \r(AC2－BC2)＝eq \r(3).
所以三棱锥E­ABC的体积V＝eq \f(1,3)S△ABC·AA1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(3)×1×2＝eq \f(\r(3),3).
22．(本小题满分12分)已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值.
【导学号：09960155】
【解】 (1)法一 线段AB的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x－y＝0.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,x＋y－2＝0.))
所以圆M的圆心坐标为(1,1)，
半径r＝eq \r(1－12＋－1－12)＝2.
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(r＞0)，
根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0.))
解得a＝b＝1，r＝2.
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)由题知，四边形PCMD的面积为
S＝S△PMC＋S△PMD＝eq \f(1,2)|CM|·|PC|＋eq \f(1,2)|DM|·|PD|.
又|CM|＝|DM|＝2，|PC|＝|PD|，
所以S＝2|PC|，
而|PC|＝eq \r(|PM|2－|CM|2)
＝eq \r(|PM|2－4)，
即S＝2eq \r(|PM|2－4).
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以
|PM|min＝eq \f(|3×1＋4×1＋8|,\r(32＋42))＝3，
所以四边形PCMD面积的最小值为
S＝2eq \r(|PM|2－4)＝2eq \r(32－4)＝2eq \r(5).