高中数学人教版新课标A必修21.1 空间几何体的结构一课一练

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课后提升作业 二

圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征

(45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是　(　　)

A.圆柱　　　　　　  B.圆锥

C.圆台      D.两个共底的圆锥

【解析】选D.连BD交AC于O，则AC⊥BD.BC，AB绕直线AC旋转各得一圆锥.

【补偿训练】将图①所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图②所示的几何体的是　(　　)

【解析】选B.由旋转体的结构特征知，几何体由上、下两个同底的圆锥组成，因此只有B符合题意.

2.如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是　(　　)

A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体

B.该组合体仍然关于轴l对称

C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点

D.该组合体中的球和半球只有一个公共点

【解析】选A.该组合体中有一个球和一个半球，故A错误.

3.(2016·银川高一检测)圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是　(　　)

A.等边三角形 　　　   B.等腰直角三角形

C.顶角为30°的等腰三角形  D.其他等腰三角形

【解析】选A.设圆锥底面圆的半径为r，依题意可知2πr=π·，则r=，故轴截面是边长为的等边三角形.

4.如图所示的简单组合体，其结构特征是(　　)

A.两个圆锥

B.两个圆柱

C.一个棱锥和一个棱柱

D.一个圆锥和一个圆柱

【解析】选D.上面是圆锥，下接一个同底的圆柱.

5.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的　(　　)

【解析】选A.该几何体自上向下是由一个圆锥，两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的.

6.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是　(　　)

A.有且只有一个     B.一个或无穷多个

C.无数个       D.以上均不正确.Com]

【解析】选B.当过AB的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时可作无数个；当直线AB不过球心时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作一个大圆.

【补偿训练】正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是　(　　)

【解析】选C.正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心，所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对面的高线，故C正确.

7.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为　(　　)

A.一个球体

B.一个球体中间挖去一个圆柱

C.一个圆柱

D.一个球体中间挖去一个棱柱

【解析】选B.外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱.

8.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是　(　　)

A.①③　　　  B.①②　　　  C.②④　　　  D.②③

【解析】选A.①正确，截面过三棱锥底面的一边；

②错误，截面圆内三角形的一条边不可能过圆心；

③正确，为截面平行于三棱锥底面；

④错误，截面圆不可能过三棱锥的底面.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.(2016·济宁高一检测)一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为________cm2.

【解析】设截面圆半径为rcm.

则r2+42=52，所以r=3.

所以截面圆面积为9πcm2.

答案：9π

10.圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________.

【解析】如图，把圆台还原为圆锥，设截面☉O1的半径为r，因为圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面的半径为1，下底面的半径为4，所以=，设SO=x，SO2=4x，则OO2=3x，又OO1∶O1O2=2∶1，所以OO1=2x，在△SBO1中，=，所以r=3.因此截面面积为9π.

答案：9π

三、解答题(每小题10分，共20分)

11.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征.

【解析】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.

12.已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.

【解题指南】过正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，将有关量放在平面图形中，建立正方体的棱长与圆锥有关量的关系即可求解.

【解析】过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.

因为△VA1C1∽△VMN，所以=.

所以hx=2rh-2rx，

所以x==.

即圆锥内接正方体的棱长为.

【能力挑战题】

如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：

(1)绳子的最短长度的平方f(x).

(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离.

(3)f(x)的最大值.

【解析】将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧

AA′的长度L就是圆O的周长，

所以L=2πr=2π.

所以∠ASM=×360°=×360°=90°.

(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM=(0≤x≤4).

所以f (x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).

(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，

因为S△SAM=SA·SM=AM·SR，

所以SR==(0≤x≤4)，

即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).

(3)因为f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数，所以f(x)的最大值为f(4)=32.

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