高中数学人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积当堂检测题

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课后提升作业 一

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

(45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.下列说法中正确的是　(　　)

A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行

B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高

D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.

2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点　(　　)

A.四条侧棱、四个顶点　　　　 B.八条侧棱、四个顶点

C.四条侧棱、八个顶点    D.六条侧棱、八个顶点

【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.

3.下列说法错误的是　(　　)

A.多面体至少有四个面

B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C.长方体、正方体都是棱柱

D.三棱柱的侧面为三角形

【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.

4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是　(　　).Com]

A.棱柱

B.棱台

C.由一个棱柱与一个棱锥构成

D.不能确定

【解析】选A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.

5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是　(　　)

A.(1)(2)　　  B.(2)(3)　　  C.(3)(4)　　  D.(1)(4)

【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.

【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同.

【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是　(　　)

【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.

6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是　(　　)

A.1∶2   B.1∶4   C.2∶1   D.4∶1

【解析】选B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.

7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有　(　　)

A.20条      B.15条

C.12条      D.10条

【解析】选D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.

8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值　(　　)

A.大于5       B.等于5

C.至多等于4      D.至多等于3

【解析】选C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.

【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.

答案：①③④⑤

10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.

【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.

答案：12

三、解答题(每小题10分，共20分)

11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.

(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.

(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.

【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.

(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.

12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.

【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.

在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，

所以AA″==.

【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.

【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，
所以AA″===10.

【能力挑战题】

如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.

问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？

(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？

(3)每个面的三角形面积为多少？

【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.

(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.

(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，

S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE

=(2a)2-a2-a2-a2=a2.

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