2021学年2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课时练习

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课后提升作业 七

平　　面

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.下列叙述正确的是　(　　)

A.若P∈α，Q∈α，则PQ∈α

B.若P∈α，Q∈β，则α∩β=PQ

C.若AB⊂α，C∈AB，D∈AB，则CD∈α

D.若AB⊂α，AB⊂β，则A∈α∩β且B∈α∩β

【解析】选D.点在直线或平面上，记作A∈l，A∈α，直线在平面内记作AB⊂α或l⊂α，故D正确.

2.下面说法中(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：

①因为A⊂α，B⊂α，所以AB⊂α；

②因为A∈α，B∈α，所以AB∈α；

③因为A∉a，a⊂α，所以A∉α；

④因为A∉α，a⊂α，所以A∉a.

其中正确的说法的序号是　(　　)

A.①④   B.②③   C.④   D.③

【解析】选C.点在平面上，用“∈”表示，不能用“⊂”表示，故①不正确；AB在α内，用“⊂”表示，不能用“∈”表示，故②不正确；由A∉a，a⊂α，不能得出A∉α，故③不正确；由A∉α，a⊂α，知A∉a，故④正确.

3.下列说法中正确的个数为　(　　)

①三角形一定是平面图形；

②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；

③圆心和圆上两点可确定一个平面；

④三条平行线最多可确定三个平面.

A.1   B.2   C.3   D.4

【解析】选C.由公理2可知①正确；因为两对角线相交，故可确定一平面，故②正确；当圆上两点与圆心共线时，不能确定平面，故③错误；每两条平行线可确定一个平面，故最多可确定3个平面，④正确.

4.已知A，B是点，a，b，l是直线，α是平面，如果a⊂α，b⊂α，l∩a=A，l∩b=B，那么下列关系中成立的是　(　　)

A.l⊂α      B.l∈α

C.l∩α=A      D.l∩α=B

【解析】选A.因为l∩a=A，a⊂α，所以A∈α，又l∩b=B，b⊂α，所以B∈α，故l⊂α.

5.用符号语言表示下列语句，正确的个数是　(　　)

(1)点A在平面α内，但不在平面β内：A⊂α，A⊄β.

(2)直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A∉α， a⊄α.

(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P：α∩β=l，P∈l.

(4)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：P∈l， l∩α=M.

A.1    B.2    C.3    D.4

【解析】选B.(1)错误，点A和平面的关系应是A∈α，A∉β，(4)错误，缺少P∉α，(2)(3)正确.

6.(2016·青岛高一检测)一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是　

(　　)

A.4    B.6    C.7    D.10

【解析】选A.当直线外这三点不共线且任意两点的连线不平行于该直线时，确定的平面个数最多为4个.

【误区警示】本题易选C.产生错误的原因是先在已知直线上任取2点，这样共5点构成一个四棱锥，这样4个侧面，两个对角面，一个底面共7个，将条件作了转换，由原来的一条直线转换成两个点.

7.如图所示，平面α∩平面β=l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l=R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ是　(　　)

A.直线AC      B.直线BC

C.直线CR      D.以上均错

【解析】选C.由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ=CR.

8.(2016·成都高一检测)在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么　(　　)

A.M一定在直线AC上

B.M一定在直线BD上

C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上

D.M既不在直线AC上，也不在直线BD上

【解析】选A.如图，因为EF∩HG=M，

所以M∈EF，M∈HG，

又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，

故M∈平面ABC，M∈平面ADC，

所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.AB，AD⊂α，CB，CD⊂β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线EH与FG相交于点P，则点P必在直线________上.

【解析】P∈EH，EH⊂α，故P∈α，同理P∈β，而α∩β=BD，所以P∈BD.

答案：BD

10.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__________.

【解析】如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记为β，

则α∩β=CD，

因为l∩α=O，所以O∈α，又O∈AB⊂β，所以O∈β，所以O∈CD.故O，C，D共线.

答案：共线

三、解答题

11.(10分)如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.

【证明】如图所示，因为A1B1∥AB，

所以A1B1与AB确定一平面，记为平面α.

同理，将B1C1与BC所确定的平面记为平面β，C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.

易知β∩γ=C1C.

又△ABC与△A1B1C1不全等，

所以AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.

而AA1⊂γ，BB1⊂β，所以P∈γ，P∈β，

所以P在平面β与平面γ的交线上.

又β∩γ=C1C，所以P∈C1C，

所以AA1，BB1，CC1交于一点.

【补偿训练】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，对角线A1C与平面EFDB交于H点，求证：P，H，Q三点共线.

【证明】EF∥DB，确定平面BF，

⇒P∈平面BF.

同理，Q∈平面BF，

所以P，H，Q∈平面BF，A1C1∥AC，确定平面A1C，

P∈A1C1，Q∈AC，H∈A1C，

所以P，H，Q∈平面A1C.

根据公理3，P，H，Q三点一定在平面BF与平面A1C的交线上，故P，H，Q三点共线.

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