2021学年第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系精练

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课后提升作业 十一

直线与平面平行的性质

(45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为　(　　)

A.都平行

B.都相交且一定交于同一点

C.都相交但不一定交于同一点

D.都平行或都交于同一点

【解析】选D.当l与α相交时，设交点为A，则过l的平面与α的交线a，b，c，…都过点A，当l∥α时，由线面平行的性质得l∥a∥b∥c∥….

2.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是　(　　)

A.m∥α，m∥n⇒n∥α

B.m∥α，n∥α⇒m∥n

C.m∥α，m⊂β，α∩β=n⇒m∥n

D.m∥α，n⊂α⇒m∥n

【解析】选C.A中，n还有可能在平面α内；B中m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确.D中m，n可能异面.

3.已知m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于a，则n与a的位置关系是　(　　)

A.平行　　  B.相交　　  C.异面　　  D.以上均有可能

【解析】选A.因为m∥α，m⊂β，α∩β=a，

所以m∥a，又m∥n，所以n∥a.

4.(2016·广州高一检测)如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则　(　　)

A.MN∥PD       B.MN∥PA

C.MN∥AD       D.以上均有可能

【解析】选B.因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，所以MN∥PA.

5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC=m，BD=n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB=　(　　)

A.m∶n      B.n∶m

C.(m+n)∶m     D.(m+n)∶n

【解析】选A.因为AC∥平面EFGH，

所以EF∥AC，GH∥AC，

所以EF=HG=m·，

同理EH=FG=n·.

因为EFGH是菱形，所以m·=n·，

所以AE∶EB=m∶n.

6.α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件：

①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③a⊂γ，b∥β.如果说法“α∩β=a，b⊂γ，且________，则a∥b”是正确的，则可以在横线处填的条件是　(　　)

A.①或②　　 B.②或③　　 C.①或③　　 D.只有②

【解题指南】对每一个条件逐一判断，看是否满足线面平行的性质定理.

【解析】选C.①中a∥γ，b⊂β，γ∩β=b，

得出a∥b；③中a⊂γ，b∥β，b⊂γ，

α∩β=a，β∩γ=a，得出a∥b.

7.(2016·成都高一检测)如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为　(　　)

A.2+　　  B.3+　　  C.3+2　　  D.2+2

【解析】选C.因为AB=BC=CD=DA=2，

所以四边形ABCD是菱形，所以CD∥AB，

又CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，

所以CD∥平面SAB.

又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面SAB=EF，

所以CD∥EF，所以EF∥AB.

又因为E为SA中点，

所以EF=AB=1.

又因为△SAD和△SBC都是等边三角形，

所以DE=CF=2×sin60°=，.Com]

所以四边形DEFC的周长为：

CD+DE+EF+FC=3+2.

8.若直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β=直线b，则　(　　)

A.a∥b或a与b异面     B.a∥b

C.a与b异面        D. a与b相交

【解析】选B.a∥b.理由如下：如图，

.Com]

过a作平面γ交平面α于c，

因为a∥α，所以a∥c.过a作平面ε交平面β于d，

因为a∥β，所以a∥d.

所以c∥d.又c⊄β，d⊂β，所以c∥β，又c⊂α，α∩β=b，

所以c∥b，所以a∥b.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.

【解析】由于在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，

所以AC=2.

又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C=AC，所以EF∥AC，

所以F为DC的中点，所以EF=AC=.

答案：

10.(2016·南阳高一检测)如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1-A1BC1后得到的几何体，若点O为底面ABCD的中心，则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是____________.

【解析】如图，将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四边形D1OBO1为平行四边形，则D1O∥O1B，因为BO1⊂平面A1BC1，D1O⊄平面A1BC1，所以直线D1O∥平面A1BC1.

答案：平行

三、解答题(每小题10分，共20分)

11. 如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.

(1)求证：CD∥平面EFGH.

(2)求异面直线AB，CD所成的角.

【解析】(1)因为截面EFGH是矩形，

所以EF∥GH.

又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD.

所以EF∥平面BCD.

而EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD=CD，所以EF∥CD.

又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，

所以CD∥平面EFGH.

(2)由(1)知CD∥EF，同理AB∥FG，由异面直线所成角的定义知，∠EFG即为所求.

故AB，CD所成的角为90°.

12.ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.

【证明】如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，

因为ABCD是平行四边形，

所以O是AC中点，又M是PC的中点，所以AP∥OM.

根据直线和平面平行的判定定理，

则有PA∥平面BMD.

因为平面PAHG∩平面BMD=GH，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP∥GH.

【能力挑战题】

如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.

【解析】若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBM交AE于点N，连接MN，NF.

因为BF∥平面AA1C1C，

BF⊂平面FBM，平面FBM∩平面AA1C1C=MN.

所以FB∥MN.

又MB∥平面AEF，

所以MB∥FN，

所以四边形BFNM是平行四边形，

所以MN=FB=1.

而EC∥FB，EC=2FB=2，

所以MN∥EC，MN=EC=1，

故MN是△ACE的中位线.

所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.

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