高中数学人教版新课标A必修2第三章 直线与方程综合与测试当堂达标检测题

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阶段通关训练(三)

 (60分钟　100分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.(2016·长春高一检测)直线l过点P(-1，2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为　(　　)

A.x-y+1=0      B.x-y-1=0

C.x-y-3=0      D.x-y+3=0

【解析】选D.由题意k=tan45°=1，所以直线l的方程为y-2=1×(x+1)，即x-y+3=0.

2.(2016·东北三校高一联考)经过两点A(4，2y+1)，B(2，-3)的直线的倾斜角为135°，则y=　(　　)

A.-1   B.-3   C.0   D.2

【解析】选B.由==y+2，

得y+2=tan135°=-1.所以y=-3.

3.(2015·杭州高一检测)直线+=1与两坐标轴围成的三角形的周长为　(　　)

A.6   B.7   C.12   D.14

【解析】选C.直线+=1与两坐标轴的交点分别为(3，0)，(0，4)，因此与两坐标轴围成的三角形周长为3+4+=12.

4.若两条直线3ax-y-2=0和(2b-1)x+5by-1=0分别过定点A，B，则|AB|等于

　(　　)

A.　　　  B.　　　  C.　　  　D.

【解析】选C.因为直线3ax-y-2=0可化为y=3ax-2，过定点A(0，-2).直线(2b-1)x+5by-1=0可化为(2x+5y)b-(x+1)=0过定点B，

所以|AB|==.

5.(2016·九江高一检测)点P(2，5)到直线y=-x的距离d等于　(　　)

A.0        B.

C.       D.

【解析】选B.由点到直线的距离公式知d==.

6.与直线l：3x-5y+4=0关于x轴对称的直线的方程为　(　　)

A.3x+5y+4=0      B.3x-5y-4=0

C.5x-3y+4=0      D.5x+3y+4=0

【解析】选A.因为点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)，所以只需将已知直线中的变量y变为-y即可，即为3x+5y+4=0.

二、填空题(每小题5分，共20分)

7.(2016·长沙高一检测)直线l与直线y=1，x-y-7=0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，-1)，则直线l的斜率为__________.

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=-1，

又y1=1，所以y2=-3，

代入方程x-y-7=0，得x2=4，即B(4，-3)，

又=1，所以x1=-2，即A(-2，1)，

所以kAB==-.

答案：-

8.已知直线l1：(m+1)x+y=2-m和l2：4x+2my=-16，若l1∥l2，则m的值为________.

【解析】当m=0时，l1：x+y=2，l2：x=-4，两直线不平行.当m≠0时，由=≠，得解得m=1.

答案：1

9.已知A(2，0)，B(-1，-1)，P是直线x-y+2=0上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为________.

【解题指南】找出点A关于直线x-y+2=0的对称点A′，A′与B的距离即为所求最小值.

【解析】A关于直线x-y+2=0的对称点为A′(-2，4)，则所求的最小值为

|A′B|，且|A′B|=.

答案：

【补偿训练】已知a，b， c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点(m，n)在直线ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值为________.

【解析】点(m，n)在直线ax+by+2c=0上，且m2+n2为直线上的点到原点的距离的平方.原点到直线的距离d====2，所以m2+n2≥4.

答案：4

10.若动点A，B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为__________.

【解析】依题意，知l1∥l2，故点M所在直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x+y+m=0，根据平行线间的距离公式，得=⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6，即l：x+y-6=0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为=3..Com]

答案：3

三、解答题(共4小题，共50分)

11.(12分)求直线3x-2y+24=0的斜率及它在x，y轴上的截距.

【解析】因为直线3x-2y+24=0化成斜截式，

得y=x+12，所以直线的斜率k=，

因为对直线3x-2y+24=0令y=0，得x=-8，

所以直线交x轴于点(-8，0)，可得直线在x轴上截距是-8，因为对直线3x-2y+24=0令x=0，得y=12，

所以直线交y轴于点(0，12)，可得直线在y轴上的截距为12.

12.(12分)如图，已知△ABC中A(-8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0，求直线BC的方程.

【解析】设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为，

由条件可得：

得解得即B(6，4)，

又可知C点的坐标为(5，0)，故所求直线BC的方程为=.即4x-y-20=0.

13.(13分)已知直线方程l1：2x+3y-5=0与l2：3x+2y-5=0，

(1)求两直线的交点.

(2)求经过交点，且与直线x+4y+3=0平行的直线方程.

【解析】(1)由得

故两直线交点为(1，1).

(2)因为所求直线与直线x+4y+3=0平行，

所以可设所求直线方程为x+4y+c=0，

由题意知点(1，1)在直线x+4y+c=0上.

所以1+4+c=0，所以c=-5，

所以所求直线方程为x+4y-5=0.

14.(13分)已知，在△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1<m<4)，C(4，2)，求m为何值时，△ABC的面积S最大.

【解析】因为A(1，1)，C(4，2)，

所以|AC|==.

又直线AC的方程为x-3y+2=0.

根据点到直线的距离公式，得点B(m，)到直线AC的距离为d=，

所以S=|AC|·d=|m-3+2|

=.

因为1<m<4，所以1<<2，

所以-<-<，

所以0≤<，

所以S=-.

所以当-=0，即m=时，S最大，

故当m=时，△ABC的面积最大.

【能力挑战题】　直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：

(1)△AOB的周长为12.

(2)△AOB的面积为6.

若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

【解析】设直线方程为+=1(a>0，b>0)，

若满足条件(1)，则a+b+=12，①

又因为直线过点P，所以+=1，②

由①②可得5a2-32a+48=0，

解得或

所以所求直线的方程为+=1或+=1，

即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.

若满足条件(2)，则ab=12，③

由②③整理得a2-6a+8=0，

解得或

所以所求直线的方程为+=1或+=1.

即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.

综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，直线方程为3x+4y-12=0.

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