人教版新课标A必修24.3 空间直角坐标系课后测评

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课后提升作业 二十五

圆的一般方程

(45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.以圆x2+2x+y2=0的圆心为圆心，半径为2的圆的方程为　(　　)

A.(x+1)2+y2=2

B.(x+1)2+y2=4

C.(x-1)2+y2=2

D.(x-1)2+y2=4

【解析】选B.圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1，0)，所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=4.

2.方程x2+y2-2ax+2=0表示圆心为C(2，0)的圆，则圆的半径r=　(　　)

A.    B.2    C.    D.4

【解析】选A.方程配方得(x-a)2+y2=a2-2，由于圆心C(2，0)，所以a=2，因此r==.

3.(2016·聊城高一检测)两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的圆心连线方程为

　(　　)

A.x+y+3=0

B.2x-y-5=0

C.3x-y-9=0

D.4x-3y+7=0

【解析】选C.两圆的圆心分别为(2，-3)，(3，0)，直线方程为y=(x-3)，即3x-y-9=0.

【延伸探究】本题条件不变，则两圆的圆心连线的垂直平分线方程是________.
【解析】两圆的圆心为A(2， -3)与B(3，0)，AB的中点为，故AB的垂直平分线方程为y+=-，即2x+6y+4=0.所以x+3y+2=0.
答案：x+3y+2=0

4.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是　(　　)

A.一个圆

B.只有当a=0时，才能表示一个圆

C.一个点

D.a，b不全为0时，才能表示一个圆

【解析】选D.(2a)2+4b2=4(a2+b2)，

当a=b=0时，方程表示一个点；

当a，b不全为0时，方程表示一个圆.

5.(2016·兰州高一检测)如果圆x2+y2+ax+by+c=0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么　(　　)

A.a=0，b≠0，c≠0     B.b=c=0，a≠0

C.a=c=0，b≠0      D.a=b=0，c≠0

【解析】选B.符合条件的圆的方程为+y2=，即x2+y2+ax=0.

所以b=0，a≠0，c=0.

6.若直线3x+y+a=0始终平分圆x2+y2+2x-4y=0的周长，则a的值为　(　　)

A.-1        B.1

C.3        D.-3

【解题指南】直线平分圆的周长，说明直线一定过该圆的圆心，把圆心坐标代入直线方程即可求出a的值.

【解析】选B.因为圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1，2)，所以3x+y+a=0过点(-1，2)，

即-3+2+a=0，

所以a=1.

7.当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点Q(3，0)连接的线段PQ中点的轨迹方程是　(　　)

A.x2+y2+6x+5=0

B.x2+y2-6x+8=0

C.x2+y2-3x+2=0

D.x2+y2+3x+2=0

【解题指南】设出PQ中点的坐标(x，y)，然后用x，y表示出点P的坐标，将P点坐标代入圆的方程即可.

【解析】选C.设PQ中点坐标为(x，y)，则P (2x-3，2y)，代入x2+y2=1，得4x2+4y2-12x+8=0，即x2+y2-3x+2=0.

8.(2016·北京高一检测)若方程x2+y2+(λ-1)x+2λy+λ2=0表示圆，则λ的取值范围是　(　　)

A.(0，+∞)       B.

C.       D.R

【解析】选C.D2+E2-4F=(λ-1)2+4λ2-5λ2>0，

解不等式得λ<.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3，则m的值为________.

【解析】因为(x+1)2+(y-2)2=5-m，

所以r==，所以m=.

答案：

10.(2016·北京高一检测)已知圆C：x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则圆心为________，半径为________.

【解析】由题意可得圆C的圆心在直线x-y+2=0上，将代入直线方程得-1-+2=0，解得a=-2.故圆C的方程为x2+y2+2x-2y-3=0.

即(x+1)2+(y-1)2=5，因此圆心为(-1，1)，半径为.

答案：(-1，1)　

三、解答题(每小题10分，共20分)

11.(2016·长沙高一检测)已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.

【解析】圆心C，因为圆心在直线x+y-1=0上，所以---1=0，即D+E=-2.①

又因为半径长r==，

所以D2+E2=20.②

由①②可得或

又因为圆心在第二象限，所以-<0，即D>0.

则

故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.

12.点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.

(1)求线段AP的中点的轨迹方程.

(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点的轨迹方程.

【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，

由中点公式得点P坐标为(2x-2，2y).

因为点P在圆x2+y2=4上，

所以(2x-2)2+(2y)2=4，

故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.

(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，

在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，

所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4，

故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.

【能力挑战题】

已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0，及点Q(-2，3).

(1)P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率.

(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值.

【解析】(1)因为点P(a，a+1)在圆上，

所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0，

所以a=4，P(4，5)，

所以|PQ|==2，

kPQ==.

(2)因为圆心C坐标为(2，7)，

所以|QC|==4，

圆的半径是2，点Q在圆外，

所以|MQ|max=4+2=6，

|MQ|min=4-2=2.

【拓展延伸】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系，解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面：
(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.
(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.

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