高中数学人教版新课标A必修24.3 空间直角坐标系习题

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课后提升作业 三十

空间两点间的距离公式

(45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.若A(1，3，-2)，B(-2，3，2)，则A，B两点间的距离为　(　　)

A.　　　　  B.25　　　　  C.5　　　　  D.

【解析】选C.|AB|==5.

2.已知点A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于　(　　)

A.     B.     C.    D.

【解析】选B.AB的中点M，它到点C的距离

|CM|==.

3.(2016·绵阳高一检测)正方体不在同一表面上的两顶点A(-1，2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的体积为　(　　)

A.64     B.8     C.32    D.128

【解析】选A.设正方体棱长为a，

则a=，

所以a=4，所以V=a3=64.

4.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于　(　　)

A.    B.    C.2    D.

【解析】选B.因为点B坐标为(0，2，3)，所以|OB|==.

5.已知△ABC顶点坐标分别为A(-1，2，3)，B(2，-2，3)，C，则△ABC的形状为　(　　)

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

【解析】选C.因为|AB|=5，|BC|=，|AC|=，

所以|AB|2=|BC|2+|AC|2，所以△ABC为直角三角形.

6.已知点A(1，-3，2)，B(-1，0，3)，在z轴上求一点M，使得|AM|=|MB|，则M的竖坐标为　(　　)

A.-1    B.-2    C.-3    D.-4

【解析】选B.设M(0，0，z)，

则=，.Com]

解得z=-2.

7.(2016·广州高一检测)设点P(a，b，c)关于原点的对称点为P′，则|PP′|=

　(　　)

A.     B.2

C.|a+b+c|       D.2|a+b+c|

【解析】选B.P(a，b，c)关于原点的对称点P′(-a，-b，-c)，

则|PP′|==2，故选B.

8.在空间直角坐标系中，以A(4， 1，9)，B(10，-1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为　(　　)

A.-2    B.2    C.6    D.2或6

【解析】选D.因为以A，B，C为顶点的△ABC是以BC为底的等腰三角形.所以|AB|=|AC|，

所以

=，

所以7=，所以x=2或x=6.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.已知点A(3，0，1)和点B(1，0，-3)，且M为y轴上一点.若△MAB为等边三角形，则M点坐标为________.

【解析】设点M的坐标为(0，y，0).

因为△MAB为等边三角形，

所以|MA|=|MB|=|AB|.

因为|MA|=|MB|==，

|AB|==，

所以=，

解得y=±，

故M点坐标为(0，，0)或(0，-，0).

答案：(0，±，0)

10.已知点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点间距离的最小值是________.

【解题指南】先利用两点间距离公式用t表示出A，B两点之间的距离，然后借助二次函数知识求|AB|的最小值.

【解析】|AB|=

=

==.

当t=时，|AB|最小=.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

11.点P在xOy平面内的直线3x-y+6=0上，点P到点M(2a，2a+5，a+2)的距离最小，求点P的坐标.

【解析】由已知可设点P(a，3a+6，0)，则

|PM|=

=

=，

所以当a=-1时，|PM|取最小值，

所以在xOy平面内的直线3x-y+6=0上，

取点P(-1，3，0)时，

点P到点M的距离最小.

【延伸探究】若把题干中“M(2a，2a+5，a+2)”改为“M(2，5，2)”，则结论如何？
【解析】由已知可设点P(a，3a+6，0)，则
|PM|=
=
=，
所以当a=-时，
|PM|取最小值，
所以在xOy平面内的直线3x-y+6=0上，
取点P时，
点P到点M的距离最小.

12.如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，P，Q分别是D′B，B′C的中点，求PQ的长.

【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

由题意得，B(a，a，0)，D′(0，0，a)，

所以P.

又C(0，a，0)，B′(a，a，a)，

所以Q.

所以|PQ|==.

【能力挑战题】

在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，若|PA|=|PB|=|PC|=a，求点P到平面ABC的距离.

【解题指南】以P为原点建立空间直角坐标系，求出等边三角形ABC的垂心H的坐标，然后利用两点间距离公式求解即可.

【解析】根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，

.Com]

则P(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a).

过P作PH⊥平面ABC，

交平面ABC于H，

则PH的长即为点P到平面ABC的距离.

因为|PA|=|PB|=|PC|，

所以H为△ABC的外心.

又因为△ABC为正三角形，

所以H为△ABC的重心，

可得H点的坐标为，，，

所以|PH|==a，

所以点P到平面ABC的距离为a.

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