人教版新课标A必修41.3 三角函数的诱导公式测试题

第6课时　同角三角函数的基本关系(2)

1.巩固同角三角函数关系式．

2．灵活利用公式进行化简求值证明．

1．同角三角函数关系式是根据三角函数定义推导的．

2．同角三角函数的基本关系式包括：

①平方关系：sin2α＋cos2α＝1

②商数关系：tanα＝.

3．商数关系tanα＝成立的角α的范围是α≠kπ＋(k∈Z)．

4．sin2α＋cos2α＝1的变形有sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α等．tanα＝的变形有sinα＝tanα·cosα，cosα＝等．

一、选择题

1．已知cos2θ＝，且＜θ＜2π，那么tanθ的值是(　　)

A.　　B．－

C.    D．－

答案：D

解析：∵＜θ＜2π，cos2θ＝，∴cosθ＝.

∴sinθ＝－，故tanθ＝＝－.

2．已知tanα＝2，则＋的值为(　　)

A．6  B．10

C．5  D．8

答案：B

解析：先将所求关系式化简，再代入求值．

＋＝＝.

∵tanα＝＝2，∴sinα＝2cosα，

∴sin2α＋cos2α＝4cos2α＋cos2α＝5cos2α＝1，

∴cos2α＝，∴原式＝＝10.故选B.

3．设cos100°＝k，则tan100°＝(　　)

A.     B．－

C．±  D．±

答案：A

解析：∵100°是第二象限角，cos100°＝k，

∴sin100°＝，∴tan100°＝.

4．已知sinθ＝，cosθ＝，则m的值为(　　)

A．0      B．8

C．0或8  D．3＜m＜9

答案：C

解析：利用sin2θ＋cos2θ＝1，求m的值．

5．化简cos2x＝(　　)

A．tanx  B．sinx

C．cosx  D.

答案：D

解析：cos2x＝cos2x

＝·cos2x＝＝.

6．已知tanα＝，且α∈，则sinα的值是(　　)

A．－  B.

C.     D．－

答案：A

解析：∵α∈，∴sinα<0.由tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－.

二、填空题

7．已知tanα＝m，则sinα＝________.

答案：－

解析：因为tanα＝m，所以＝m2，

又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

sin2α＝.又因为π＜α＜，所以tanα＞0，

即m＞0.因而sinα＝－.

8．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝________.

答案：2

解析：将已知等式两边平方，得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，则sinα＝2cosα，故tanα＝2.

9．若tanα＋＝3，则sinαcosα＝________，tan2α＋＝________.

答案：　7

解析：∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sinαcosα＝.tan2α＋＝2－2tanα＝9－2＝7.

三、解答题

10．求证：＝.

证明：左边＝

＝

＝

＝

＝右边．

11．已知tanα＝3，求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)sin2α＋cos2α.

解：(1)

＝

＝＝

(2)

＝

＝＝－

(3)sin2α＋cos2α

＝

＝

＝＝

12．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg＝n，则lgsinA的值为(　　)

A．m＋   B．m－n

C.  D.(m－n)

答案：D

解析：两式相减得lg(1＋cosA)－lg＝m－n⇒

lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n⇒lg sin2A＝m－n，

∵A为锐角，∴sinA＞0.∴2lgsinA＝m－n.

∴lgsinA＝.

13．已知＝k，试用k表示sinα－cosα的值．

解：＝

＝＝2sinαcosα＝k.

当0<α<时，sinα<cosα，此时sinα－cosα<0，

∴sinα－cosα＝－

＝－＝－.

当≤α<时，sinα≥cosα，此时sinα－cosα≥0，

∴sinα－cosα＝

＝＝.