2020-2021学年1.4 三角函数的图象与性质课后作业题

第12课时　正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值

1.理解正、余弦函数单调性的意义，会求其单调区间．

2．会求正、余弦函数的最大(小)值．

1．y＝sinx单调递增区间k∈Z，单调递减区间k∈Z.x＝2kπ＋，k∈Z，y＝sinx取得最大值1，x＝2kπ＋，k∈Z，y＝sinx取得最小值－1.

2．y＝cosx单调递增区间[－π＋2kπ，2kπ]k∈Z，单调递减区间[2kπ，2kπ＋π]k∈Z.x＝2kπ，k∈Z，y＝cosx取最大值1，x＝2kπ＋π，k∈Z，y＝cosx取最小值－1.

一、选择题

1．函数y＝cos的单调递减区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案：C

解析：∵2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z.

∴kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z.

2．函数y＝3cos＋1取得最大值时，x的值应为(　　)

A．2kπ－，k∈Z　　　B．kπ－，k∈Z

C．kπ－，k∈Z       D．kπ＋，k∈Z

答案：B

解析：依题意，当cos(2x＋)＝1时，y有最大值，此时2x＋＝2kπ，k∈Z，变形为x＝kπ－，

k∈Z.

3．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期为2π

B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称

D．函数f(x)是奇函数

答案：D

解析：f(x)＝sin＝－cosx，所以f(x)是偶函数，故D错．

4．函数y＝cos，x∈的值域是(　　)

A.  B.

C.    D.

答案：B

解析：由x∈，得x＋∈.

故ymax＝cos＝，ymin＝cos＝－.

所以，所求值域为.

5．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是(　　)

A.  B.

C.   D.

答案：C

解析：画出y＝|sinx|的图象，如图．

由图象可知，函数y＝|sinx|的一个递增区间是.

6．下列关系式中正确的是(　　)

A．sin11°<cos10°<sin168°

B．sin168°<sin11°<cos10°

C．sin11°<sin168°<cos10°

D．sin168°<cos10°<sin11°

答案：C

解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y＝sinx的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.

二、填空题

7．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．

答案：

解析：因为sin(x＋π)＝－sinx，所以要求y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间，即求y＝sinx在上的单调递减区间，易知为.

8．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．

答案：

解析：令2×π＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ－π，k∈Z，当k＝2时，|φ|min＝.

9．函数y＝的最大值为________．

答案：3

解析：由y＝，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.

三、解答题

10．求下列函数的单调递增区间．

(1)y＝1－sin；

(2)y＝log (cos2x)．

解：(1)由题意可知函数y＝sin的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，

由2kπ＋≤≤2kπ＋π(k∈Z)，

得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)．

∴函数y＝1－sin的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．

(2)由题意，得cos2x＞0，

∴2kπ－＜2x＜2kπ＋，k∈Z，

即kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z.

∵函数y＝logx在定义域内单调递减，

∴函数y＝cos2x(x∈(kπ－，kπ＋)，k∈Z)的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，

∴x只需满足2kπ＜2x＜2kπ＋，k∈Z.

∴kπ＜x＜kπ＋，k∈Z.

∴函数y＝log(cos2x)的单调递增区间为(kπ，kπ＋)，k∈Z.

11．设a＞0,0≤x<2π，若函数y＝cos2x－asinx＋b的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并求该函数取得最大值和最小值时x的值．

解：y＝cos2x－asinx＋b＝－(sinx＋)2＋＋b＋1，

由－1≤sinx≤1，a＞0，知

①若0＜≤1，即0＜a≤2，

当sinx＝－时，ymax＝＋b＋1＝0，

当sinx＝1时，ymin＝－(1＋)2＋＋b＋1＝－4，

解得a＝2，b＝－2.

②若＞1，即a＞2，

当sinx＝－1时，ymax＝－(－1＋)2＋＋b＋1＝0，

当sinx＝1时，ymin＝－(1＋)2＋＋b＋1＝－4，

解得a＝2，b＝－2不合题意，舍去．

综上，a＝2，b＝－2，

当x＝时，ymax＝0；当x＝时，ymin＝－4.

12．定义运算a*b＝例如：1]　　　　 .

答案：

解析：在同一直角坐标系中作出y＝sinx和y＝cosx的图象，结合a*b的新定义可知．f(x)的最小值为－1，最大值为，故其值域为.

13．已知ω是正数，函数f(x)＝2sinωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．

解：由2kπ－≤ωx≤2kπ＋(k∈Z)得

－＋≤x≤＋(k∈Z)．

∴f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)．

据题意，

⊆(k∈Z)．

从而有，解得0<ω≤.

故ω的取值范围是.