高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示课后作业题

第22课时　平面向量的正交分解与坐标运算

1.理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义．

2．理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则、熟练进行向量的坐标运算．

1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y使a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．

3．平面向量的坐标运算

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．

(2)λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)．

(3)若A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，则＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．

一、选择题

1．已知i, j分别是方向与x轴、y轴正方向相同的单位向量，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a位于(　　)

A．第一、二象限　　　　B．第二、三象限

C．第三象限            D．第四象限

答案：D

解析：因为a＝(x2＋x＋1，－x2＋x－1)，

x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0，

－x2＋x－1＝－2－＜0，

故a位于第四象限．

2．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则－3a－2b的坐标是(　　)

A．(7,1)  B．(－7，－1)

C．(－7,1)  D．(7，－1)

答案：B

解析：∵a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，

∴－3a－2b＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－7，－1)．

3．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝(　　)

A．(－2，－2)  B．(2,2)

C．(1,1)        D．(－1，－1)

答案：D

解析：＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.

4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)

A．(2,4)  B．(3,5)

C．(1,1)  D．(－1，－1)

答案：C

解析：＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．

5．若＝(1,1)，＝(0,1)，＋＝(a，b)，则a＋b＝(　　)

A．－1  B．0

C．1    D．2

答案：A

解析：＋＝＝－＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a＝－1，b＝0，a＋b＝－1.

6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)

A．(2,6)      B．(－2,6)

C．(2，－6)  D．(－2，－6)

答案：D

解析：由题意知：4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0⇒d＝(－2，－6)，故选D.

二、填空题

7．已知向量＝(－1,2)，＝(3，－1)，则向量的坐标为________．

答案：(4，－3)

解析：＝－＝(3，－1)－(－1,2)＝(4，－3)．

8．若a＝(1,2)，b＝(－1,0)，则2a－b＝________.

答案：(3,4)

解析：2a－b＝(2,4)－(－1,0)＝(3,4)．

9．平面上有A(－2,1)、B(1,4)、D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连结DC并延长，取点E使＝，则点E的坐标为________．

答案：(－8，－)

解析：设C(x，y)，由＝，得(x＋2，y－1)＝(x－1，y－4)．

即解得

即C(－5，－2)．又E在DC延长线上，

∴＝，设E(a，b)，

则(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3)

解之得a＝－8，b＝－.∴E(－8，－)．

三、解答题

10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，＝＋t.求：t分别为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

解：由题意，＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．

若P在x轴上，只需2＋3t＝0，所以t＝－；

若P在y轴上，只需1＋3t＝0，所以t＝－；

若P在第二象限，只需

∴－<t<－.

11．已知A(8，－1)、B(2,5)，点C是直线AB上一点，且＝－5，求点C的坐标和的坐标．

解：设C(x，y)，则＝(x－8，y＋1)，＝(x－2，y－5)．

∵＝－5.

∴(x－8，y＋1)＝－5(x－2，y－5)，即

，得.∴C(3,4)．

＝(3,4)－(8，－1)＝(－5,5)．

12．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为(　　)

A．(－4,2)   B．(－4，－2)

C．(4，－2)  D．(4,2)

答案：C

解析：由题意，知点G是△ABC的重心，设C(x，y)，则有解得故C(4，－2)．

13．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(3)求M、N的坐标及向量的坐标．

解：(1)a＝＝(5，－5)　b＝＝(－6，－3)

c＝＝(1,8)

3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(6，－42)

(2)a＝mb＋nc，∴(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n)＝(－6m＋n，－3m＋8n)

解得m＝－1，n＝－1.

(3)设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)＝(3,24)

x＋3＝3，x＝0，y＋4＝24，y＝20.M(0,20)．同理N(9,2)∴＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．