人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换课堂检测

第31课时　简单的三角恒等变换

　1.能够利用半角公式进行化简．

2．了解和差化积与积化和差公式，以及它与两角和与差公式的内在联系．

3．了解y＝asinx＋bcosx的函数的变换，并会求形如y＝asinx＋bcosx的函数的性质．

1．半角公式：

sin2＝，sin＝±

cos2＝，cos＝±

tan2＝，tan＝±

根号前符号，由所在象限三角函数符号确定．

2．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.

一、选择题

1．已知cosθ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos＝(　　)

A．－  B.

C．－    D.

答案：B

解析：因为－180°<θ<－90°，所以－90°<<－45°.又cosθ＝－，所以cos＝＝＝，故选B.

2．已知α∈，cosα＝，则tan＝(　　)

A．3  B．－3

C.    D．－

答案：D

解析：因为α∈，且cosα＝，所以∈，tan＝－＝－＝－，故选D.

3．在△ABC中，若B＝45°，则cosAsinC的取值范围是(　　)

A．[－1,1]       B.

C.  D.

答案：B

解析：在△ABC中，B＝45°，所以cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，因为－1≤sin(A－C)≤1，所以≤cosAsinC≤，故选B.

4．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α是第二象限角，则tan等于(　　)

A．7   B．－7

C.    D．－

答案：C

解析：∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，

∴cosα＝－.

又α是第二象限角，∴sinα＝，则tanα＝－.

∴tan＝＝＝.

5．函数f(x)＝的值域为(　　)

A.  B.

C.     D.

答案：B

解析：f(x)＝＝＝2sinx＋2sin2x，

又－1≤sinx<1，∴f(x)∈.故选B.

6．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是(　　)

A．等边三角形    B．等腰三角形

C．不等边三角形  D．直角三角形

答案：B

解析：sinAsinB＝

2sinAsinB＝1－cos(π－A－B)

cosAcosB＋sinAsinB＝1

cos(A－B)＝1

A＝B

∴是等腰三角形．

二、填空题

7．若3sinx－cosx＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ等于________．

答案：－

解析：3sinx－cosx＝2 sin，

所以φ＝－.

8．已知sin＝，则cos2＝________.

答案：

解析：因为cos＝sin＝sin＝.所以cos2＝＝＝.

9．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanAtanB＝________.

答案：

解析：因为3cos2＋5sin2＝4，

所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝0，

所以cosAcosB＋sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝0，

即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝.

三、解答题

10．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos.

解：∵α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，

∴cosα＝－，cosβ＝.

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×＋×＝.

又∵<α<π，0<β<，∴0<α－β<π，0<<.

∴cos＝ ＝.

11．已知sin(2α＋β)＝5sinβ.求证：2tan(α＋β)＝3tanα.

证明：由条件得sin[(α＋β)＋α]

＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得

sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα

＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα.

整理得：

4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα.

两边同除以cos(α＋β)cosα得：

2tan(α＋β)＝3tanα.

12．要使sinα＋cosα＝有意义，则应有(　　)

A．m≤           B．m≥－1

C．m≤－1或m≥  D．－1≤m≤

答案：D

解析：sinα＋cosα＝2＝

2sin＝，所以sin＝，由于－1≤sin≤1，所以－1≤≤1，所以－1≤m≤.

13．已知函数f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若<α<，且f(α)＝－，求sin2α的值．

解：(1)因为f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x，

所以f(x)＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，

所以函数f(x)的最小正周期是π.

(2)f(α)＝－，即sin＝－，sin＝－.

因为<α<，所以<2α＋<，

所以cos＝－，

所以sin2α＝sin

＝sin－cos

＝×－×

＝.