高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试课后测评

 www.ks5u.com阶段质量检测(一)

(A卷　学业水平达标)

(时间：90分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是(　　)

A．330°　　　　　　　　 　B．210°

C．150°   D．30°

答案：B

2．若－<α<0，则点P(tan α，cos α)位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案：B

3．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(sin 120°，cos 120°)，则α可以是(　　)

A．60°   B．330°

C．150°   D．120°

答案：B

4．若sin2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝(　　)

A．1  B.

C．－   D．－1

答案：D

5．函数f(x)＝tan的单调增区间为(　　)

A.，k∈Z

B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案：C

6．已知sin＝，则sin的值为(　　)

A.   B．－

C.   D．－

答案：C

7．函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值之和为(　　)

A.　　　 　B．2　　　　C．0　　　　D.

答案：A

8．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

答案：A

9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为(　　)

A．y＝2sin

B．y＝2sin或y＝2sin

C．y＝2sin

D．y＝2sin

答案：C

10．函数f(x)＝Asin ωx(ω>0)，对任意x有f＝f，且f＝－a，那么f等于(　　)

A．a   B．2a

C．3a   D．4a

答案：A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．已知sin(π－α)＝－，且α∈，则tan(2π－α)＝________.

解析：sin(π－α)＝sin α＝－，

∵α∈，

∴cos α＝＝，tan(2π－α)＝－tan α＝－＝.

答案：

12．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．

解析：∵sin θ＋cos θ＝，

∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，

∴2sin θcos θ＝.又0＜θ＜，∴sin θ＜cos θ.

∴sin θ－cos θ＝－

＝－＝－.

答案：－

13．定义运算a*b为a*b＝例如1]　　　　.

解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为.

答案：

14．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________.

解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于－＝＝，即周期为，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点，所以0＝Atan，

即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，

又|φ|＜，所以φ＝.再由图象过定点(0,1)，

所以A＝1.综上可知f(x)＝tan.

故有f＝tan＝tan ＝.

答案：

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)已知＝－1，求下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sin αcos α＋2.

解：由＝－1，得tan α＝.

(1)＝＝＝－.

(2)sin2α＋sin αcos α＋2

＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α)

＝

＝

＝

＝.

16．(本小题满分12分)已知α是第二象限角，

且f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若cos＝，求f(α)的值．

解：(1)f(α)＝

＝－cos α.

(2)∵cos＝sin α＝，

∴sin α＝.又∵α是第二象限角，

∴cos α＝－＝－.

∴f(α)＝－＝.

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式，并用“五点法”作出y＝g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．

解：(1)∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)在y轴上的截距为1，最大值为2，∴A＝2,1＝2sin φ，∴sin φ＝.

又∵|φ|<，∴φ＝.

∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)，

∴T＝2[(x0＋3π)－x0]＝6π，

∴ω＝＝＝.

∴函数的解析式为f(x)＝2sin.

(2)将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得函数的解析式为y＝2sin，再向右平移个单位后，得g(x)＝2sin＝2sin.

列表如下：

描点并连线，得g(x)在一个周期的闭区间上的图象如下图．

18.(本小题满分14分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)x∈R，ω>0,0≤θ≤的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.

(1)求θ和ω的值；

(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．

解：(1)把(0，)代入y＝2cos(ωx＋θ)中，

得cos θ＝.

∵0≤θ≤，∴θ＝.

∵T＝π，且ω>0，

∴ω＝＝＝2.

(2)∵点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，

∴点P的坐标为.

∵点P在y＝2cos的图象上，

且≤x0≤π，

∴cos＝，且≤4x0－≤.

∴4x0－＝或4x0－＝.

∴x0＝或x0＝.

(B卷　能力素养提升)

(时间：90分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．已知cos θ tan θ<0，那么角θ是(　　)

A．第一或第二象限象

B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角

D．第一或第四象限角

解析：选C　若cos θtan θ<0，

则cos θ>0，tan θ<0，或cos θ<0，tan θ>0.

当cos θ>0，tan θ<0时，角θ是第四象限角；

当cos θ<0，tan θ>0时，角θ是第三象限角．

2．(陕西高考)函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　)

A.   B．π

C．2π   D．4π

解析：选B　∵T＝＝＝π，∴B正确．

3．函数y＝cos x·tan x的值域是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)

B．[－1,1]

C．(－1,1)

D．[－1,0]∪(0,1)

解析：选C　化简得y＝sin x，由cos x≠0，得sin x≠±1.故得函数的值域(－1,1)．

4．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(　　)

A．扇形的面积不变

B．扇形的圆心角不变

C．扇形的面积增大到原来的2倍

D．扇形的圆心角增大到原来的2倍

解析：选B　根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B.

5．已知α＝，则点P(sin α，tan α)所在的象限是(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选D　∵<<π，∴sin α>0，tan α<0，∴点P在第四象限．

6．函数y＝2sin的图象(　　)

A．关于原点成中心对称

B．关于y轴成轴对称

C．关于点成中心对称

D．关于直线x＝成轴对称

解析：选C　由形如y＝Asin(ωx＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f＝0，故函数的图象关于点成中心对称．

7．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

解析：选D　当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0；当x＝π时，y＝0；当π<x<时，tan x>sin x，y＝2sin x．故选D.

8．已知角α的终边上一点的坐标为sin，cos，则角α的最小正值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　由题意知，tan α＝＝.

所以α的最小正值为.

9．函数y＝cos的单调递增区间是(　　)

A.

B.

C.

D.(以上k∈Z)

解析：选B　函数y＝cos－2x＝cos2x－，根据余弦函数的增区间是[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，得2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故选B.

10．函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的最大值是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－.∵x∈，∴cos x∈，∴当cos x＝－，即x＝时，ymax＝.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．

解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，

sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，

sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1，(1≤x≤44，x∈N)，

∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋2＝.

答案：

12．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．

解析：y＝sin 2x向右平移φ个单位得

f(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)．

由f＝sin＝±1，

∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，

∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝，

∴φ＝或作出y＝sin 2x的图象观察易知φ＝－＝.

答案：

13．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos＋α＋sin·sin(π－α)的值为________．

解析：∵tan(π－α)＝2，∴tan α＝－2，

∴原式＝－2sin α·(－sin α)＋(－cos α)·sin α

＝2sin2α－sin αcos α＝＝

＝＝＝2.

答案：2

14．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1－x2|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.

解析：由已知T＝π，∴ω＝2，θ＝kπ＋(k∈Z)．

答案：2　

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.

(1)求sin Acos A；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；

(3)求tan A的值．

解：(1)∵sin A＋cos A＝ ①，

∴①式两边平方得1＋2sin Acos A＝，

∴sin Acos A＝－.

(2)由(1)sin Acos A＝－，且A∈(0，π)，可得sin A>0，cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．

(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，又sin A>0，cos A<0，

∴sin A－cos A>0，∴sin A－cos A＝ ②，∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，∴tan A＝－.

16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋·sin2x－.

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

(2)画出函数y＝f(x)在区间上的图象．

解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，

当sin＝1时，f(x)取得最大值1＋.

(2)由(1)知：

故函数y＝f(x)在区间上的图象如图所示．

17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝3sinωx＋，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．

(1)求f(0)；

(2)求f(x)的解析式；

(3)已知f＝，求sinα的值．

解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝.

(2)∵f(x)的最小正周期为，

∴ω＝＝4.

∴f(x)＝3sin.

(3)由f＝3sin＝3cos α＝，

∴cos α＝.

∴sin α＝±＝±.

18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，且ω>0,0<φ<的部分图象如图所示．

(1)求A，ω，φ的值；

(2)若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．

解：(1)由图象易知A＝1，函数f(x)的周期为

T＝4×＝2π，∴ω＝1.

∵π－＝，

∴此函数的图象是由y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度得到的，故φ＝.

(2)由(1)知函数解析式为f(x)＝sin.

∴方程f(x)＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f(x)，x∈与y＝a有两个交点．

当x＝0时，f(x)＝，

∴a∈时，y＝a与y＝f(x)有两个交点；

当x＝π时，f(x)＝0，

∴a∈(－1,0)时，y＝a与y＝f(x)也有两个交点，

故所求a∈∪(－1,0)．