高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示精练

 www.ks5u.com课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

一、选择题

1．(山东高考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b 的夹角为，则实数m＝(　　)

A．2　　　　　　　　 B.

C．0 D．－

答案：B

2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于(　　)

A．4   B．2

C．8   D．8

答案：D

3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：D

4．(湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)

A.  B.

C．－   D．－

答案：A

5．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)∪

B.

C.∪

D.

答案：A

二、填空题

6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝，则|·n|的最大值为________．

答案：4

7.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．

答案：

8．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．

答案：∪∪

三、解答题

9．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．

(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；

(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.

解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，

∴x2＋y2＝20.

由c∥a和|c|＝2，

可得解得或

故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．

(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，

即2a2＋3a·b－2b2＝0，

∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，

∴cos θ＝＝－1.

又θ∈[0，π]，∴θ＝π.

10．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．

(1)当·取最小值时，求的坐标；

(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．

解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，

∴向量与共线，又＝(2,1)．

∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.

∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，

∴＝(1－2y,7－y)．

同理＝－＝(5－2y,1－y)．

于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.

可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．

(2)当＝(4,2)，即y＝2时，

有＝(－3,5)，＝(1，－1)，

||＝，||＝，

·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.

cos∠AMB＝＝＝－.

11．设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．

(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α.

解：(1)证明：由题意知，

a＋b＝，

a－b＝，

∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，

∴(a＋b)⊥(a－b)．

(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，∴－cos α＋sin α＝0，

∴tan α＝，

又0≤α<2π，∴α＝或α＝.