2021学年2.5 平面向量应用举例课时练习

 www.ks5u.com课时达标检测（二十） 平面向量的正交分解及坐标表示　平面向量的坐标运算

一、选择题

1．已知向量＝(1，－2)，＝(－3,4)，则等于(　　)

A．(－2,3)　　　　　 　B．(2，－3)

C．(2,3)   D．(－2，－3)

答案：A

2．已知a＝(－5,6)，b＝(－3,2)，c＝(x，y)，若a－3b＋2c＝0，则c等于(　　)

A．(－2,6)   B．(－4,0)

C．(7,6)   D．(－2,0)

答案：D

3．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则(　　)

A．m＝2，n＝4   B．m＝3，n＝－2

C．m＝4，n＝2   D．m＝－4，n＝－2

答案：C

4．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于(　　)

A．2   B．1

C.  D.

答案：A

5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)

A．(2,6)   B．(－2,6)

C．(2，－6)   D．(－2，－6)

答案：D

二、填空题

6．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.

答案：或－

7．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为________．

答案：a＝e1＋e2

8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝

λ＋ (λ∈R)，则λ＝ ________.

答案：

三、解答题

9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．

解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，

＝(－3，－6)．

∵＝，＝－，

∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，

(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)．

则有

解得

∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，

因此＝(－2，－4)．

10．已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ (λ∈R)．

(1)λ为何值时，点P在正比例函数y＝x的图象上？

(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围．

解：设P点坐标为(x1，y1)，则＝(x1－2，y1－3)．

＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)，

即＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)，

由＝＋λ，

可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，

则解得

∴P点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．

(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝，

∴当λ＝时，P点在函数y＝x的图象上．

(2)因为点P在第三象限，∴解得λ＜－1，

∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．

11．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．

(1)证明：对任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；

(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；

(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q是常数)的向量c的坐标．

解：(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，

则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，

∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，

mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)

＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，

∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．

(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，

f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．

(3)设c＝(x，y)，

则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，

∴y＝p,2y－x＝q，

∴x＝2p－q，

即向量c＝(2p－q，p)．