数学必修4第三章 三角恒等变换综合与测试课时练习

 www.ks5u.com模块综合检测(三)

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)

A．－　　　　　　　　　　B.

C．－  D.

解析：选B　∵r＝，

∴cos α＝＝－，∴m>0，

∴＝，∴m＝±.

∵m>0，∴m＝.

2．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)＝·sin，g(x)＝sin2x＋，h(x)＝cos的部分图象(如图)，则(　　)

A．a为f(x)，b为g(x)，c为h(x)

B．a为h(x)，b为f(x)，c为g(x)

C．a为g(x)，b为f(x)，c为h(x)

D．a为h(x)，b为g(x)，c为f(x)

解析：选B　由于函数f(x)、g(x)、h(x)的最大值分别是、1、1，因此结合图形可知，曲线b为f(x)的图象；g(x)、h(x)的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a、c分别是h(x)、g(x)的图象．

3．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)

A．2－

B．－＋2

C.－

D．－＋

解析：选A　∵＝＋＝＋2＝＋2(－)，

∴＝2－.

4．已知两不共线的向量a，b，若对非零实数m，n有ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)

A．－2   B．2

C．－  D.

解析：选C　∵ma＋nb＝λ(a－2b)，

∴∴＝－.

5．若α∈，且sin α＝，则sin－·cos(π－α)等于(　　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：选B　sin－cos(π－α)

＝sin α＋cos α＋cos α

＝sin α＋cos α.

∵sin α＝，α∈，

∴cos α＝－.

∴sin α＋cos α＝×－×＝－.

6．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于(　　)

A.  B.

C．0   D．－1

解析：选C　∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0.

7．下列函数为奇函数的是(　　)

A．y＝2cos2πx－1

B．y＝sin 2πx＋cos 2πx

C．y＝tan ＋1

D．y＝sin πxcos πx

解析：选D　对于A，y＝2cos2πx－1＝cos 2πx是偶函数；对于B，y＝sin 2πx＋cos 2πx＝·sin非奇非偶；对于C，y＝tan ＋1非奇非偶；对于D，y＝sin πxcos πx＝sin 2πx是奇函数．

8．已知向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝m＋n，＝m－3n，D为BC边的中点，则||等于(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选A　＝(＋)＝m－n.

∴||＝＝＝1.

9．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为(　　)

A．P在△ABC内部

B．P在△ABC外部

C．P在AB边所在直线上

D．P是AC边的一个三等分点

解析：选D　∵＋＋＝，

∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，

∴P是AC边的一个三等分点．

10．(天津高考)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)

A．－1   B．－

C.   D．0

解析：选B　由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin2x－在区间上的最小值为－.

11．如图是函数f(x)＝A·cos(x＋φ)－1(A>0，|φ|<)的图象的一部分，则f(2 012)＝(　　)

A．－3   B．2

C.   D．1

解析：选A　由函数的最大值为1可知A＝2，由函数f(x)的图象过原点，可知2cos φ－1＝0，又|φ|<，所以φ＝±，又点(1,0)在函数f(x)的图象上，代入检验可知φ＝－，故f(x)＝2·cos－1，所以f(2 012)＝2·cos－1＝－3.

12．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是(　　)

A．(－3,0)   B．(2,0)

C．(3,0)   D．(4,0)

解析：选C　设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，

＝(x－4，－1)，

∴·＝(x－2)(x－4)＋2

＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，

故当x＝3时，·最小，此时P(3,0)．

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．要得到函数y＝sin(2x＋)的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象________个单位．

解析：y＝sin(2x＋)＝sin 2，故向左平移个单位．

答案：向左平移

14．直线x＝t与函数y＝sin x，y＝cos x的图象分别相交于M，N两点，则|MN|的最大值为________．

解析：M，N的纵坐标分别为sin t，cos t，

则|MN|＝|sin t－cos t|＝|sin(t－)|.

∴|MN|max＝.

答案：

15．若0≤α≤2π，sin α＞cos α，则α的取值范围是____________．

解析：∵sin α>cos α，∴sin α－cos α>0，

即2＝2sin>0，

由0≤α≤2π，得－≤α－≤，

∴0<α－<π，即α∈.

答案：

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2)(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝.

答案：

三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知＝－.

(1)求tan α的值；

(2)若β为第二象限的角，且tan(α－β)＝，求β.

解：(1)∵

＝

＝tan α＝－.

∴tan α＝－.

(2)∵tan β＝tan [α－(α－β)]

＝

＝＝－1.

又∵β为第二象限角，

∴β＝2kπ＋，k∈Z.

18．(本小题满分12分)(广东高考)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.

(1)求A 的值；

(2)若 f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.

解：(1)∵f(x)＝Asin，且f＝，

∴Asin＝⇒Asin＝⇒A＝3.

(2)由(1)知f(x)＝3sin，

∵f(θ)－f(－θ)＝，

∴3sin－3sin＝，

展开得3sin θ＋cos θ－3cos θ－sin θ＝，化简得sin θ＝.

∵θ∈0，，∴cos θ＝.

∴f－θ＝3sin＝3sin－θ＝3cos θ＝.

19．(本小题满分12分)(北京高考)函数f(x)＝3sin 的部分图象如图所示．

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；

(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值．

解：(1)f(x)的最小正周期为＝＝π，x0＝，y0＝3.

(2)因为x∈，所以2x＋∈.

于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.

20．(本小题满分12分)已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24)的函数，下表是某日各时的浪高数据：

(1)根据以上数据，选用一个函数来近似描述y与t的函数关系；

(2)依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

解：(1)以时间为横坐标，高度为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．根据散点图，可考虑用函数y＝Acos ωt＋b刻画y与t的函数关系．

由表中数据，知周期T＝12.

∴ω＝＝＝.

由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，

由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，

∴A＝0.5，b＝1，

∴振幅为，∴y＝cost＋1.

(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，

∴cost＋1＞1，

∴cost＞0.

∴2kπ－＜t＜2kπ＋.

即12k－3＜t＜12k＋3，

∵0≤t≤24，

∴k可取0,1,2，

得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.

∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6 h时间可供冲浪者运动： 上午9：00至15：00.

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A＞0，0＜φ＜.y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．

(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；

(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．

解：(1)由题意得，T＝＝6.

因为P(1，A)在y＝Asin(x＋φ)的图象上，

所以sin(＋φ)＝1.

又因为0＜φ＜，所以φ＝.

(2)设点Q的坐标为(x0，－A)，

由题意可知x0＋＝，得x0＝4，

所以Q(4，－A)．

则＝(0，A)，＝(3，－A)，

∴cos∠PRQ＝＝＝－，

解得A2＝3.又A>0，所以A＝.

22．(本小题满分12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点(0,1)．

(1)求φ的值；

(2)求函数y＝sin(πx＋φ)的单调递增区间；

(3)求使y≥1的x的集合．

解：(1)因为函数图象过点(0,1)，

所以2sin φ＝1，即sin φ＝.

因为0≤φ≤，所以φ＝.

(2)由(1)得y＝2sin(πx＋)，

∴当－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，

即－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z时，y＝sin(πx＋)是增函数．

则y＝2sin(πx＋)的单调递增区间为[－＋2k，＋2k]，k∈Z.

(3)由y≥1，得sin(πx＋)≥，

∴＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，

得2k≤x≤＋2k，k∈Z，

∴y≥1时，x的集合为{x|2k≤x≤＋2k，k∈Z}．