高中数学人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数同步达标检测题

1．2.2　同角三角函数的基本关系

课时目标　1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：____________________.

(2)商数关系：____________(α≠kπ＋，k∈Z)．

2．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：

sin2α＝________；cos2α＝________；

(sin α＋cos α)2＝____________________；

(sin α－cos α)2＝________________；

(sin  α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；

sin α·cos α＝______________________＝________________________.

(2)tan α＝的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________.

一、选择题

1．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)

A.        B.        C．1        D.

2．若sin α＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于(　　)

A．0        B．1        C．2        D．3

3．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于(　　)

A．－        B.        C．±        D．±

4．已知tan α＝－，则的值是(　　)

A.        B．3        C．－        D．－3

5．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)

A．－4        B．4        C．－8        D．8

6．若cos α＋2sin α＝－，则tan α等于(　　)

A.        B．2        C．－        D．－2

二、填空题

7．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝________.

8．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________.

9．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝____.

10．若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．

三、解答题

11．化简：.

12．求证：＝.

能力提升

13．证明：

(1)－＝sin α＋cos α；

(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．

14．已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．

(1)求sin3θ＋cos3θ的值；

(2)求tan θ＋的值．

1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．

2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．

3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．

1．2.2　同角三角函数的基本关系

答案

知识梳理

1．(1)sin2α＋cos2α＝1　(2)tan α＝

2．(1)1－cos2α　1－sin2α　1＋2sin αcos α　1－2sin αcos α　2　　　(2)cos αtan α　

作业设计

1．C　2.B　3.A

4．C　[＝＝＝＝＝－.]

5．C　[tan α＋＝＋＝.

∵sin αcos α＝＝－，∴tan α＋＝－8.]

6．B　[方法一　由联立消去cos α后得(－－2sin α)2＋sin2α＝1.

化简得5sin2α＋4sin α＋4＝0

∴(sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－.

∴cos α＝－－2sin α＝－.

∴tan α＝＝2.

方法二　∵cos α＋2sin α＝－，

∴cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝5，

∴＝5，

∴＝5，

∴tan2α－4tan α＋4＝0，

∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.]

7．－

8.

解析　sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，

又tan θ＝2，故原式＝＝.

9．－

解析　(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，

∵<α<，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－.

10.

解析　∵sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，

∴k2＋6k－7＝0，

∴k1＝1或k2＝－7.

当k＝1时，cos θ不符合，舍去．

当k＝－7时，sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝.

11．解　原式＝

＝

＝

＝

＝

＝＝＝.

12．证明　左边＝

＝

＝＝

＝右边．

∴原等式成立．

13．证明　(1)左边＝－

＝－

＝－

＝－

＝

＝sin α＋cos α＝右边．

∴原式成立．

(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，

右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α

∴左边＝右边，∴原式成立．

14．解　(1)由韦达定理知：

sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a.

∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，

∴a2＝1＋2a.

解得：a＝1－或a＝1＋

∵sin θ≤1，cos θ≤1，

∴sin θcos θ≤1，即a≤1，

∴a＝1＋舍去．

∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)

＝a(1－a)＝－2.

(2)tan θ＋＝＋＝＝＝＝＝－1－.