高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示课后复习题

2.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3　平面向量的坐标运算

课时目标　1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．

1．平面向量的坐标表示

(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．

(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．

(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________________.

2．平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

一、选择题

1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　　)

A．(－2，－1)        B．(－2,1)

C．(－1,0)            D．(－1,2)

2．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)

A．(－2，－2)           B．(2,2)

C．(－2,2)              D．(2，－2)

3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)

A．－2,1         B．1，－2

C．2，－1        D．－1,2

4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为(　　)

A．(－8,1)          B.

C.        D．(8，－1)

5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于(　　)

A．(－2，－4)         B．(－3，－5)

C．(3,5)               D．(2,4)

6．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　)

A．(－7,0)        B．(7,6)

C．(6,7)          D．(7，－6)

二、填空题

7．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则－的坐标是________．

8．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.

9．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3，2)，则x＝________.

10．函数y＝x2＋2x＋2按向量a平移所得图象的解析式为y＝x2，则向量a的坐标是________．

三、解答题

11．已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.

12．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．

能力提升

13．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于(　　)

A．{(1,1)}        B．{(－1,1)}

C．{(1,0)}        D．{(0,1)}

14．函数y＝cos－2的图象F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y＝f(x)，当y＝f(x)为奇函数时，向量a可以等于(　　)

A.        B.

C.        D.

1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：

2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．

2．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

2．3.3　平面向量的坐标运算

答案

知识梳理

1．(1)互相垂直　(2)单位向量　xi＋yj　有序数对(x，y)　a＝(x，y)　(3)(x，y)　(x2－x1，y2－y1)

2．(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(2)(x1－x2，y1－y2)　(3)(λx，λy)

作业设计

1．D　2.D

3．D　[由解得]

4．C　[设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝×(－8,1)，

∴x＝－1，y＝－.]

5．B　[∵＝＋，

∴＝－＝(－1，－1)．

∴＝－＝(－3，－5)．]

6．D　[设D(x，y)，由＝，

∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)．

∴x＝7，y＝－6.]

7．(－3,6)

8.

解析　∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，

＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

又2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，

∴　解得　

∴x＋y＝.

9．－1

解析　∵A(1,2)，B(3,2)，∴＝(2,0)．

又∵a＝，它们的坐标一定相等．

∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)．

∴

∴x＝－1.

10．(1，－1)

解析　函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y＝x2的顶点坐标为(0,0)，则a＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．

11．解　设c＝xa＋yb，

则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，

∴

解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.

12．解　(1)当平行四边形为ABCD时，＝，

设点D的坐标为(x，y)．

∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，

∴　∴　∴D(0，－1)；

(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)；

(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)．

综上可知点D可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．

13．A　[设a＝(x，y)，则

P＝，

∴集合P是直线x＝1上的点的集合．

同理集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，

即P＝{(x，y)|x＝1}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}．

∴P∩Q＝{(1,1)}．故选A.]

14．B　[函数y＝cos－2按向量a＝(m，n)平移后得到y′＝cos＋n－2.若平移后的函数为奇函数，则n＝2，－2m＝kπ＋(k∈Z)，故m＝－时适合．]