第二章　平面向量(A)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是(　　)

A．(，)或(1，)        B．(，)

C．(0,1)                    D．(0,1)或(，)

2．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是(　　)

A．|a|＝|b|               B．a·b＝

C．a－b与b垂直        D．a∥b

3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于(　　)

A．(－1，－2)          B．(1，－2)

C．(－1,2)              D．(1,2)

4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于(　　)

A．0        B．2＋        C.        D．2

5．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于(　　)

A.        B.        C．1＋        D．2

6．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)

A．－a＋b           B.a－b

C.a－b              D．－a＋b

7．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)

A．6        B．5        C．4        D．3

8．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为(　　)

A．等腰非直角三角形        B．等边三角形

C．直角非等腰三角形        D．等腰直角三角形

9．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到为(　　)

A．(1,2)        B．(2,3)

C．(3,4)        D．(4,7)

10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是(　　)

A.        B.

C.        D.

11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于(　　)

A．2                    B．－2

C．||cos A              D．与菱形的边长有关

12．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是(　　)

A.·        B.·

C.·        D.·

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

14．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.

15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．

16. 如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．

(1)若|c|＝2，且c∥a，求c；

(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．

18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，

(1)c∥d；(2)c⊥d.

19．(12分)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：

(1)a与b的夹角；

(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．

20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：

(1)BE⊥CF；

(2)AP＝AB.

22．(12分)已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1.

求证：△P1P2P3是正三角形．

第二章　平面向量(A)

答案

1．D　2.C

3．D　[根据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．]

4．D　[|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|2|＝2||＝2.]

5．B　[由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝，故选B.]

6．B　[令c＝λa＋μb，则　∴∴c＝a－b.]

7．C　[∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.]

8．C　[∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，

∴＝－＝(－2，－1)，

∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，

∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.

∴△ABC是直角非等腰三角形．]

9．B　[∵＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量后得，＝＝(2,3)．]

10．A　[a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>.当a与b共线时，＝，∴λ＝.此时，a与b同向，∴λ>.]

11．B　[

如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋. ·＝·(＋)＝－2＋0＝－2，故选B.]

12．A　[根据正六边形的几何性质．

〈，〉＝，〈，〉＝，

〈，〉＝，〈，〉＝.

∴·<0，·＝0，

·＝||·||cos ＝||2，

·＝||·2||·cos ＝||2.比较可知A正确．]

13．－1

解析　∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．

∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.

14．3

解析　a·b＝|a||b|cos 30°＝2··cos 30°＝3.

15．6

解析　由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.

16．－

解析　因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)．

所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)＝2(x－)2－.

∴当x＝时，(＋)·取到最小值－.

17．解　(1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)．

又|c|＝2，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)．

(2)∵⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0.

∵|a|＝，|b|＝，∴a·b＝－.

∴cos θ＝＝－1，∴θ＝180°.

18．解　由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.

(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．

∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.

(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.

∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－.

19．解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝，∴|b|2＝，∴|b|＝，

设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.∴θ＝45°.

(2)∵|a|＝1，|b|＝，

∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝.∴|a－b|＝，

又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝.∴|a＋b|＝，

设a－b与a＋b的夹角为α，则cos α＝＝＝.即a－b与a＋b的夹角的余弦值为.

20．解　(1)＝(3,5)，＝(－1,1)，

求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．

由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，

由－＝(4,4)，得|－|＝4.

(2)＝(－2，－1)，∵(－t)·＝·－t2，易求·＝－11，2＝5，

∴由(－t)·＝0得t＝－.

21．证明　

如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，

则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，

E(1,2)，F(0,1)．

(1)＝－＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，

＝－＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，

∵·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，

∴⊥，即BE⊥CF.

(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，

∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.

同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.

解得x＝，∴y＝，即P.

∴2＝2＋2＝4＝2，

∴||＝||，即AP＝AB.

22．证明　∵＋＋＝0，∴＋＝－，

∴(＋)2＝(－)2，

∴||2＋||2＋2·＝||2，

∴·＝－，

cos∠P1OP2＝＝－，

∴∠P1OP2＝120°.同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，即、、中任意两个向量的夹角为120°，故△P1P2P3是正三角形．