2020-2021学年第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第1课时精练

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 www.ks5u.com第一章　1.1　第1课时一、选择题1．(2013·北京文，5)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)A．　 B．C． D．1[答案]　B[解析]　本题考查了正弦定理，由＝知＝，即sinB＝，选B.2．在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b.若2asinB＝b，则角A等于(　　)A． B．C．　 D．[答案]　D[解析]　由正弦定理得2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝，∴A＝.3．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是(　　)A．a>bsinA B．a＝bsinAC．a<bsinA D．a≥bsinA[答案]　D[解析]　由正弦定理，得＝，∴a＝，在△ABC中，0<sinB≤1，故≥1，∴a≥bsinA．4．△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是(　　)A．一解 B．两解C．无解 D．无法确定[答案]　B[解析]　∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c>bsinC，又c<b，∴此三角形有两解．5．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则sinA＝(　　)A． B．C．　 D．[答案]　A[解析]　由已知，得＝×2××sinA，∴sinA＝.6．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)A．x>2 B．x<2C．2<x<2 D．2<x<2[答案]　C[解析]　由题设条件可知，∴2<x<2. 二、填空题7．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边长为__________．[答案]　2cm[解析]　∵＝2R，∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝2(cm)．8．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝2，则c＝______.[答案]　2[解析]　C＝180°－105°－45°＝30°.根据正弦定理＝可知＝，解得c＝2.三、解答题9．根据下列条件，解三角形．(1)△ABC中，已知b＝，B＝60°，c＝1；(2)△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2.[解析]　(1)由正弦定理，得sinC＝·sinB＝×＝.∴C＝30°或C＝150°.∵A＋B＋C＝180°，故C＝150°不合题意，舍去．∴A＝90°，a＝＝2.(2)由正弦定理，得sinC＝＝＝.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1.当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.10．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．[解析]　∵A、B、C是三角形的内角，∴A＝π－(B＋C)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC．∴sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0，又∵0<B<π，0<C<π，∴－π<B－C<π，∴B＝C．又∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，∴△ABC是等腰直角三角形.一、选择题1．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为(　　)A． B．C．　 D．[答案]　D[解析]　c＝ ＝，B＝105°，sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝，∴S△ABC＝acsinB＝.2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C．若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝(　　)A．－ B．C． －1　 D． 1[答案]　D[解析]　∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，∴sinAcosA＋cos2B＝1.3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝(　　)A． B．C．　 D．[答案]　A[解析]　本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．由正弦定理可得sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝sinB，∵sinB≠0，∴sin(A＋C)＝，∴sinB＝，由a>b知A>B，∴B＝.选A．4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是(　　)A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直[答案]　C[解析]　∵k1＝－，k2＝，∴k1·k2＝－1，∴两直线垂直．二、填空题5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．[答案]　[解析]　sinB＋cosB＝sin＝，∴sin(B＋)＝1，∵0<B<π，∴<B＋<π，∴B＝，又∵＝，∴sinA＝，∵a<b，∴A<B，故A＝.6．在△ABC中，若＝＝，则△ABC一定是________三角形．[答案]　等边[解析]　由正弦定理得，＝＝，∴sin＝sin＝sin，∵0<A，B，C<π，∴0<，，<，∴＝＝，∴A＝B＝C．故△ABC为等边三角形．三、解答题7．在△ABC中，cosA＝－，cosB＝.(1)求sinC的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积．[解析]　(1)在△ABC中，由cosA＝－，cosB＝得，sinA＝，sinB＝.∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋(－)×＝.(2)根据正弦定理，AB＝＝＝，∴△ABC的面积S＝AB·BC·sinB＝××5×＝.8．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A．(1)求cos A的值；(2)求c的值．[解析]　(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以＝，故cosA＝.(2)由(1)知cosA＝，所以sinA＝＝.又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.所以sinB＝＝，在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝5.