高中2.1 数列的概念与简单表示法课后练习题

这是一份高中2.1 数列的概念与简单表示法课后练习题，共6页。


一、选择题
1．下列有关数列的说法正确的是( )
①同一数列的任意两项均不可能相同；
②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．①③
C．②③D．③
[答案] D
[解析] ①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选D.
2．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数．
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点．
③数列的项数是无限的．
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( )
A．①②B．①②③
C．②③D．①②③④
[答案] A
[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0，…的通项可以是an＝sineq \f(nπ,2)，也可以是an＝cseq \f(n＋3π,2)等等．
3．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项( )
A．18B．21
C．25D．30
[答案] D
[解析] 依次令n(n＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D.
4．已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(n－1,n＋1)，那么这个数列是( )
A．递增数列B．递减数列
C．常数列D．摆动数列
[答案] A
[解析] an＝eq \f(n－1,n＋1)＝1－eq \f(2,n＋1)，随着n的增大而增大．
5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )
A．an＝2n－1B．an＝(－1)n(1－2n)
C．an＝(－1)n(2n－1)D．an＝(－1)n(2n＋1)
[答案] B
[解析] 当n＝1时，a1＝1排除C、D；当n＝2时，a2＝－3排除A，故选B.
6．已知数列eq \r(2)，eq \r(5)，2eq \r(2)，eq \r(11)，…，则2eq \r(5)可能是这个数列的( )
A．第6项B．第7项
C．第10项D．第11项
[答案] B
[解析] 调整为：eq \r(2)，eq \r(5)，eq \r(8)，eq \r(11)，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项多3，又2eq \r(5)＝eq \r(20)，∴应是eq \r(11)后的第3项，即第7项，选B.
二、填空题
7.eq \f(2,3)，eq \f(4,15)，eq \f(6,35)，eq \f(8,63)，eq \f(10,99)，…的一个通项公式是________．
[答案] an＝eq \f(2n,2n－12n＋1)
[解析] eq \f(2,3)＝eq \f(2,1×3)，eq \f(4,15)＝eq \f(2×2,3×5)，eq \f(6,35)＝eq \f(2×3,5×7)，eq \f(8,63)＝eq \f(2×4,7×9)，eq \f(10,99)＝eq \f(2×5,9×11)，…，∴an＝eq \f(2n,2n－12n＋1).
8．已知数列eq \r(3)，eq \r(7)，eq \r(11)，eq \r(15)，eq \r(19)，…，那么3eq \r(11)是这个数列的第________项．
[答案] 25
[解析] 观察可见，数列中的后一项被开方数比前一项大4，a1＝eq \r(3)，a2＝eq \r(3＋4)，a3＝eq \r(3＋4×2)，a4＝eq \r(3＋4×3)，∴an＝eq \r(3＋4n－1)＝eq \r(4n－1)，
令eq \r(4n－1)＝3eq \r(11)得n＝25，∴a25＝3eq \r(11).
三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－eq \f(1,1＋1)，eq \f(1,4＋1)，－eq \f(1,9＋1)，eq \f(1,16＋1)，…；
(2)2,3,5,9,17,33，…；
(3)eq \f(1,2)，eq \f(2,5)，eq \f(3,10)，eq \f(4,17)，eq \f(5,26)，…；
(4)1，eq \f(4,3)，2，eq \f(16,5)，…；
(5)－eq \f(1,3)，eq \f(1,8)，－eq \f(1,15)，eq \f(1,24)，…；
(6)2,6,12,20,30，….
[解析] (1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·eq \f(1,n2＋1).
(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，
a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，
∴an＝2n－1＋1.
(3)a1＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,11＋1)，a2＝eq \f(2,5)＝eq \f(2,22＋1)，a3＝eq \f(3,10)＝eq \f(3,32＋1)，a4＝eq \f(4,17)＝eq \f(4,42＋1)…，
∴an＝eq \f(n,n2＋1).
(4)a1＝1＝eq \f(2,2)，a2＝eq \f(4,3)，a3＝2＝eq \f(8,4)，a4＝eq \f(16,5)…，
∴an＝eq \f(2n,n＋1).
(5)a1＝－eq \f(1,3)＝－eq \f(1,1×3)，a2＝eq \f(1,8)＝eq \f(1,2×4)，a3＝－eq \f(1,15)＝－eq \f(1,3×5)，a4＝eq \f(1,24)＝eq \f(1,4×6)，
∴an＝(－1)n·eq \f(1,nn＋2).
(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴an＝n(n＋1)．
10．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，求a5.
[解析] ∵a1＝2，an＋1＝an＋n，
∴当n＝1时，a2＝a1＋1＝2＋1＝3；
当n＝2时，a3＝a2＋2＝3＋2＝5；
当n＝3时，a4＝a3＋3＝5＋3＝8；
当n＝4时，a5＝a4＋4＝8＋4＝12，即a5＝12.
一、选择题
1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝( )
A．1B．1999
C．1000D．－1
[答案] A
[解析] a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．
2．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是( )
[答案] A
[解析] 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.
3．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )
A．an＝1＋(－1)n＋1
B．an＝1－csnπ
C．an＝2sin2eq \f(nπ,2)
D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)
[答案] D
[解析] 当n＝1时，D不满足，故选D.
4．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3 (n∈N*)，则f(n)是( )
A．递增数列B．递减数列
C．常数列D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，
∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，
f(n＋1)>f(n)，…，
∴f(n)是递增数列．
二、填空题
5．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋eq \f(2an,1－an)，则a6＝__________.
[答案] －eq \f(14,3)
[解析] an＋1＝2＋eq \f(2an,1－an)＝eq \f(2,1－an)，a1＝－2，
∴a2＝eq \f(2,1－a1)＝eq \f(2,3)，a3＝eq \f(2,1－a2)＝6，a4＝－eq \f(2,5)，
a5＝eq \f(10,7)，a6＝－eq \f(14,3).
6．已知数列{an}的通项公式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n＋1n为奇数,2n－2n为偶数))，则a2·a3＝__________.
[答案] 20
[解析] (1)可见偶数项为0，∴a12＝0.
(2)相当于分段函数求值，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2·a3＝20.
三、解答题
7．已知数列{an}中，an＝eq \f(n,n＋1)，判断数列{an}的增减性．
[解析] an＋1＝eq \f(n＋1,n＋2)，
则an＋1－an＝eq \f(n＋1,n＋2)－eq \f(n,n＋1)
＝eq \f(n＋12－nn＋2,n＋2n＋1)＝eq \f(1,n＋2n＋1).
∵n∈N*，∴n＋2>0，n＋1>0，
∴eq \f(1,n＋2n＋1)>0，
∴an＋1>an.∴数列{an}是递增数列．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)求数列{an}中有多少项是负数？
(2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[解析] (1)令an＝n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N＋，∴n＝2,3.
即数列{an}中有两项是负数．
(2)an＝n2－5n＋4＝(n－eq \f(5,2))2－eq \f(9,4)，
∴当n＝2或3时，an取得最小值，最小值为－2.