高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第3课时习题

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一、选择题
1．在△ABC中，若eq \f(sinA,a)＝eq \f(csB,b)，则角B等于( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
[答案] B
[解析] 由正弦定理知eq \f(sinA,a)＝eq \f(sinB,b)，∵eq \f(sinA,a)＝eq \f(csB,b)，
∴sinB＝csB，∵0°2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，csC＝eq \f(13,14)，则最大角的余弦值是( )
A．－eq \f(1,5)B．－eq \f(1,6)
C．－eq \f(1,7)D．－eq \f(1,8)
[答案] C
[解析] 由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcsC
＝82＋72－2×8×7×eq \f(13,14)＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(72＋32－82,2×7×3)＝－eq \f(1,7).
3．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )
A．30°B．60°
C．120°D．150°
[答案] B
[解析] ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，∴A＝60°.
4．在△ABC中，已知2sinAcsB＝sinC，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．正三角形
[答案] B
[解析] ∵2sinAcsB＝sin(A＋B)，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
5．在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两解，则x的取值范围是( )
A．x>2B．x<2
C．2[答案] C
[解析] 欲使△ABC有两解，须asin60°即eq \f(\r(3),2)x<26．已知锐角△ABC的面积为3eq \r(3)，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
[答案] B
[解析] ∵3eq \r(3)＝eq \f(1,2)×4×3sinC，
∴sinC＝eq \f(\r(3),2)，
∵△ABC为锐角三角形，
∴C＝60°，故选B.
二、填空题
7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
[答案] 0
[解析] ∵b2＝a2＋c2－2accsB
＝a2＋c2－2accs120°
＝a2＋c2＋ac，
∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
8．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为________．
[答案] eq \r(57)
[解析] ∵A＝60°，
∴可设最大边与最小边分别为b，C．
又b＋c＝9，bc＝8，
∴BC2＝b2＋c2－2bccsA
＝(b＋c)2－2bc－2bccsA
＝92－2×8－2×8×cs60°
＝57，
∴BC＝eq \r(57).
三、解答题
9．在△ABC中，S△ABC＝15eq \r(3)，a＋b＋c＝30，A＋C＝eq \f(B,2)，求三角形各边边长．
[解析] ∵A＋C＝eq \f(B,2)，∴eq \f(3B,2)＝180°，∴B＝120°.由S△ABC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(\r(3),4)ac＝15eq \r(3)得：ac＝60，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accsB＝(a＋c)2－2ac(1＋cs120°)
＝(30－b)2－60得b＝14，
∴a＋c＝16
∴a，c是方程x2－16x＋60＝0的两根．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝10,c＝6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝6,c＝10)) ，
∴该三角形各边长为14,10和6.
10．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝eq \f(1,3).
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝eq \r(6)，求△ABC的面积．
[解析] (1)由sin(C－A)＝1，－π又∵A＋B＋C＝π，∴2A＋B＝eq \f(π,2)，
即2A＝eq \f(π,2)－B,0故cs2A＝sinB，即1－2sin2A＝eq \f(1,3)，sinA＝eq \f(\r(3),3).
(2)由(1)得csA＝eq \f(\r(6),3).
又由正弦定理，得BC＝eq \f(ACsinA,sinB)＝3eq \r(2).
∴S△ABC＝eq \f(1,2)·AC·BC·sinC＝eq \f(1,2)AC·BC·csA＝3eq \r(2).
一、选择题
1．在钝角三角形ABC中，若sinAA．csA·csC>0B．csB·csC>0
C．csA·csB>0D．csA·csB·csC>0
[答案] C
[解析] 由正弦定理得，a∴角C为钝角，∴csC<0，csA>0，csB>0.
2．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是( )
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
[答案] B
[解析] 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，
又∵b2＝ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∵B＝60°，∴A＝C＝60°.
故△ABC是等边三角形．
3．在△ABC中，有下列关系式：
①asinB＝bsinA； ②a＝bcsC＋ccsB；
③a2＋b2－c2＝2abcsC； ④b＝csinA＋asinC．
一定成立的有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[答案] C
[解析] 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sinA＝sin(B＋C)＝sinBcsC＋sinCcsB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，又sinB＝sin(A＋C)＝csCsinA＋csAsinC，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C．
4．△ABC中，BC＝2，B＝eq \f(π,3)，当△ABC的面积等于eq \f(\r(3),2)时，sinC等于( )
A．eq \f(\r(3),2)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(3),4)
[答案] B
[解析] 由正弦定理得S△ABC＝eq \f(1,2)·AB·BC·sinB＝eq \f(\r(3),2)AB＝eq \f(\r(3),2)，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·csB＝1＋4－4×eq \f(1,2)＝3，∴AC＝eq \r(3)，再由正弦定理，得eq \f(1,sinC)＝eq \f(\r(3),sin\f(π,3))，∴sinC＝eq \f(1,2).
二、填空题
5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
[答案] eq \f(15\r(3),4)
[解析] 由余弦定理知72＝52＋BC2＋5BC，即BC2＋5BC－24＝0，
解之得BC＝3，所以S＝eq \f(1,2)×5×3×sin120°＝eq \f(15\r(3),4).
6．已知三角形两边长分别为1和eq \r(3)，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________．
[答案] 1
[解析] 如图，AB＝1，BD＝1，BC＝eq \r(3)，
设AD＝DC＝x，在△ABD中，
cs∠ADB＝eq \f(x2＋1－1,2x)＝eq \f(x,2)，
在△BDC中，cs∠BDC＝eq \f(x2＋1－3,2x)＝eq \f(x2－2,2x)，
∵∠ADB与∠BDC互补，
∴cs∠ADB＝－cs∠BDC，∴eq \f(x,2)＝－eq \f(x2－2,2x)，
∴x＝1，∴∠A＝60°，由eq \f(\r(3),sin60°)＝2R得R＝1.
三、解答题
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csA＝eq \f(1,4)，a＝4，b＋c＝6，且b[解析] ∵a2＝b2＋c2－2bccsA，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc，a＝4，csA＝eq \f(1,4)，
∴16＝(b＋c)2－2bc－eq \f(1,2)bC．
又b＋c＝6，∴bc＝8.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋c＝6，,bc＝8，))
得b＝2，c＝4，或b＝4，c＝2.
又∵b8．(2014·浙江理，18)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知a≠b，c＝eq \r(3)，cs2A－cs2B＝eq \r(3)sinAcsA－eq \r(3)sinBcsB.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝eq \f(4,5)，求△ABC的面积．
[解析] (1)由已知cs2A－cs2B＝eq \r(3)sinAcsA－eq \r(3)sinBcsB得．
eq \f(1,2)(1＋cs2A)－eq \f(1,2)(1＋cs2B)＝eq \f(\r(3),2)sin2A－eq \f(\r(3),2)sin2B，
∴eq \f(1,2)cs2A－eq \f(\r(3),2)sin2A＝eq \f(1,2)cs2B－eq \f(\r(3),2)sin2B，
即sin(－eq \f(π,6)＋2A)＝sin(－eq \f(π,6)＋2B)，
∴－eq \f(π,6)＋2A＝－eq \f(π,6)＋2B或－eq \f(π,6)＋2A－eq \f(π,6)＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝eq \f(2π,3)，
∵a≠b，∴A＋B＝eq \f(2π,3)，∴∠C＝eq \f(π,3).
(2)由(1)知sinC＝eq \f(\r(3),2)，csC＝eq \f(1,2)，
∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcsC＋csAsinC＝eq \f(3\r(3)＋4,10)
由正弦定理得：eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)，
又∵c＝eq \r(3)，sinA＝eq \f(4,5).∴a＝eq \f(8,5).
∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(18＋8\r(3),25).