高中数学2.4 等比数列第1课时精练

这是一份高中数学2.4 等比数列第1课时精练，共6页。试卷主要包含了4　第1课时等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．等比数列{an}中，a1＝4，a2＝8，则公比等于( )
A．1 B．2
C．4D．8
[答案] B
[解析] ∵a1＝4，a2＝8，∴公比q＝eq \f(a2,a1)＝2.
2．若等比数列的首项为eq \f(9,8)，末项为eq \f(1,3)，公比为eq \f(2,3)，则这个数列的项数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] B
[解析] eq \f(9,8)·(eq \f(2,3))n－1＝eq \f(1,3)，∴(eq \f(2,3))n－1＝eq \f(8,27)＝(eq \f(2,3))3∴n＝4.
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )
A．64B．81
C．128D．243
[答案] A
[解析] ∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，
∴设等比数列的公比为q，
则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.
∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，
∴a7＝a1q6＝26＝64.
4．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2aeq \\al(2,5)，a2＝1，则a1＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \r(2)D．2
[答案] B
[解析] 设公比为q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2，
因为等比数列{an}的公比为正数，所以q＝eq \r(2)，
故a1＝eq \f(a2,q)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，故选B．
5．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9D．b＝±3，ac＝9
[答案] B
[解析] 由条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝－b,b2＝ac＝9,c2＝－9b))，∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2≥0,a≠0))，∴a2>0，∴b<0，∴b＝－3，故选B．
6．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( )
A．m>k
B．m＝k
C．mD．m与k的大小随q的值而变化
[答案] C
[解析] m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)
＝(a5－a4)－(a7－a6)
＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)
＝(q－1)·a4·(1－q2)
＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．
二、填空题
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝__________.
[答案] 3·2n－3
[解析] ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝3,a10＝384))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＝3,a1q9＝384))
∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝eq \f(3,4)，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3.
8．已知等比数列前3项为eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，则其第8项是________．
[答案] －eq \f(1,256)
[解析] ∵a1＝eq \f(1,2)，a2＝a1q＝eq \f(1,2)q＝－eq \f(1,4)，
∴q＝－eq \f(1,2)，∴a8＝a1q7＝eq \f(1,2)×(－eq \f(1,2))7＝－eq \f(1,256).
三、解答题
9．若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，求实数a的值．
[解析] ∵a,2a＋2,3a＋3成等比数列，
∴(2a＋2)2＝a(3a＋3)，
解得a＝－1或a＝－4.
当a＝－1时，2a＋2,3a＋3均为0，故应舍去．
当a＝－4时满足题意，∴a＝－4.
10．已知：数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．求证：数列{an＋1}是等比数列．
[证明] 由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．
当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4.两式相减
得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，
即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)．当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，
∴a2＋a1＝2a1＋6.
又∵a1＝5，∴a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*.
又∵a1＝5，a1＋1≠0.
从而eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.
一、选择题
1．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，eq \f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq \f(a3＋a4,a4＋a5)的值为( )
A．eq \f(1－\r(5),2) B．eq \f(\r(5)＋1,2)
C．eq \f(\r(5)－1,2)D．eq \f(\r(5)＋1,2)或eq \f(\r(5)－1,2)
[答案] C
[解析] ∵a2，eq \f(1,2)a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，
∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，
∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝eq \f(\r(5)＋1,2).
∴eq \f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq \f(a3＋a4,a3＋a4q)＝eq \f(1,q)＝eq \f(\r(5)－1,2).
2．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
A．eq \r(2)B．4
C．2D．eq \f(1,2)
[答案] C
[解析] ∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项，
∴aeq \\al(2,3)＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，
∴公比q＝eq \f(a3,a1)＝eq \f(4d,2d)＝2，故选C．
3．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16B．27
C．36D．81
[答案] B
[解析] 设公比为q，由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＝1,a1q2＋a1q3＝9))，
∴q2＝9，∵an>0，∴q＝3.
∴a1＝eq \f(1,4)，∴a4＝a1q3＝eq \f(27,4)，
a5＝a1q4＝eq \f(81,4)，
∴a4＋a5＝eq \f(27,4)＋eq \f(81,4)＝eq \f(108,4)＝27.
4．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，lg ax，lg bx，lg cx( )
A．依次成等差数列
B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列
D．各项的倒数依次成等比数列
[答案] C
[解析] eq \f(1,lg ax)＋eq \f(1,lg cx)
＝lg xa＋lg xc＝lg x(ac)＝lg xb2
＝2lg xb＝eq \f(2,lg bx)
∴eq \f(1,lg ax)，eq \f(1,lg bx)，eq \f(1,lg cx)成等差数列．
二、填空题
5．在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．
[答案] 648
[解析] 设公比为q，则8q6＝5 832，∴q6＝729，
∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648.
6．在等比数列{an}中，an>0，且an＋2＝an＋an＋1，则数列的公比q＝________.
[答案] eq \f(1＋\r(5),2)
[解析] ∵an＋2＝an＋an＋1，
∴q2an＝an＋qan.
∵an>0，
∴q2－q－1＝0，q>0，
解得q＝eq \f(1＋\r(5),2)，或q＝eq \f(1－\r(5),2)(舍去)．
三、解答题
7．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3、a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[解析] (1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝－16，,d＝12.))
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
∴数列{bn}的前n项和Sn＝eq \f(n－16＋12n－28,2)
＝6n2－22n.
8．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝eq \f(8,27)，证明{an}是等比数列，并求出通项公式．
[证明] ∵2an＝3an＋1，
∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2,3)，故数列{an}是公比q＝eq \f(2,3)的等比数列．
又a2·a5＝eq \f(8,27)，则a1q·a1q4＝eq \f(8,27)，
即aeq \\al(2,1)·(eq \f(2,3))5＝(eq \f(2,3))3.
由于数列各项均为负数，
则a1＝－eq \f(3,2).
∴an＝－eq \f(3,2)×(eq \f(2,3))n－1＝－(eq \f(2,3))n－2.