高中数学人教版新课标A必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和第1课时课后练习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和第1课时课后练习题，共6页。试卷主要包含了3　第1课时等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )
A．－6B．－4
C．－2D．2
[答案] A
[解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S3＝4a3,a7＝－2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a1＋3d＝4a1＋8d,a1＋6d＝－2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝10,d＝－2)).
∴a9＝a1＋8d＝－6.
2．四个数成等差数列，S4＝32，a2a3＝13，则公差d等于( )
A．8 B．16
C．4 D．0
[答案] A
[解析] ∵a2a3＝13，∴eq \f(a1＋d,a1＋2d)＝eq \f(1,3)，∴d＝－2a1.
又S4＝4a1＋eq \f(4×3,2)d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，
∴d＝8.
3．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝14.记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则S13＝( )
A．168B．156
C．152D．286
[答案] D
[解析] ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＋a7－a10＝8,a11－a4＝14))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1－d＝8,7d＝14))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝2,a1＝10))，∴S13＝13a1＋eq \f(13×12,2)d＝286.
4．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为( )
A．0B．4475
C．8950D．10 000
[答案] C
[解析] 设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前100项和S100＝eq \f(100c1＋c100,2)＝eq \f(100×40＋139,2)＝8950.
5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )
A．5B．4
C．3D．2
[答案] C
[解析] 设等差数列为{an}，公差为d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15,a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30))，
∴5d＝15，∴d＝3.
6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(a7,a5)＝eq \f(9,13)，
则eq \f(S13,S9)＝( )
A．1B．－1
C．2D．eq \f(1,2)
[答案] A
[解析] eq \f(S13,S9)＝eq \f(13a7,9a5)＝eq \f(13,9)×eq \f(9,13)＝1，故选A．
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.
[答案] －eq \f(5n2＋n,2)
[解析] ∵an＝－5n＋2，
∴an－1＝－5n＋7(n≥2)，
∴an－an－1＝－5n＋2－(－5n＋7)＝－5(n≥2)．
∴数列{an}是首项为－3，公差为－5的等差数列．
∴Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(n－5n－1,2)＝－eq \f(5n2＋n,2).
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
[答案] 24
[解析] ∵S9＝eq \f(9·a1＋a9,2)＝72，
∴a1＋a9＝16，即a1＋a1＋8d＝16，
∴a1＋4d＝8，
又a2＋a4＋a9＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋8d
＝3(a1＋4d)＝3×8＝24.
三、解答题
9．已知等差数列{an}．
(1)a1＝eq \f(5,6)，a15＝－eq \f(3,2)，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和D．
[解析] (1)∵a15＝eq \f(5,6)＋(15－1)d＝－eq \f(3,2)，
∴d＝－eq \f(1,6).
又Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)·d＝－5，
解得n＝15，n＝－4(舍)．
(2)由已知，得S8＝eq \f(8a1＋a8,2)＝eq \f(84＋a8,2)，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
10．设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n的值．
[解析] (1)设公差为d，
则a20－a10＝10d＝20，
∴d＝2.
∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，
∴a1＝12.
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10.
(2)Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(n2n＋22,2)
＝n2＋11n＝242，
∴n2＋11n－242＝0，
∴n＝11.
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )
A．S7B．S8
C．S13D．S15
[答案] C
[解析] ∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝eq \f(13a1＋a13,2)＝13a7为常数．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于( )
A．12B．18
C．24D．42
[答案] C
[解析] ∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，
∴2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，
∴2(10－2)＝2＋S6－10，∴S6＝24.
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(S3,S6)＝eq \f(1,3)，则eq \f(S6,S12)等于( )
A．eq \f(3,10) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,8)D．eq \f(1,9)
[答案] A
[解析] 据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．
设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，
∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，
∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，
∴eq \f(S6,S12)＝eq \f(3k,10k)＝eq \f(3,10).
4．(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4
C．5D．6
[答案] C
[解析] 本题考查数列的前n项和Sn与通项an的关系及等差数列的定义．
Sm－Sm－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3，
∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.
Sm＝a1m＋eq \f(mm－1,2)·1＝0，①
am＝a1＋(m－1)·1＝2，
∴a1＝3－m.②
②代入①得3m－m2＋eq \f(m2,2)－eq \f(m,2)＝0，
∴m＝0(舍去)，m＝5，故选C．
二、填空题
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq \(OB,\s\up6(→))＝a1eq \(OA,\s\up6(→))＋a200eq \(OC,\s\up6(→))，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.
[答案] 100
[解析] ∵eq \(OB,\s\up6(→))＝a1eq \(OA,\s\up6(→))＋a200eq \(OC,\s\up6(→))，且A、B、C三点共线，
∴a1＋a200＝1，
∴S200＝eq \f(200×a1＋a200,2)＝100.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则S3等于________．
[答案] 14
[解析] 对于Sn＝2an－2，当n＝1时，有a1＝2a1－2，解得a1＝2；当n＝2时，有S2＝2a2－2，即a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝a1＋2＝4；当n＝3时，有S3＝2a3－2，即a1＋a2＋a3＝2a3－2，所以a3＝a2＋a1＋2，又a1＝2，a2＝4，则a3＝8，所以S3＝2a3－2＝14.
三、解答题
7．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)D．
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10a1＋\f(10×9,2)d＝100， ①,100a1＋\f(100×99,2)d＝10. ②))
①×10－②整理得d＝－eq \f(11,50)，代入①得，a1＝eq \f(1 099,100)，
∴S110＝110a1＋eq \f(110×109,2)d
＝110×eq \f(1 099,100)＋eq \f(110×109,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,50)))
＝110eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1 099－109×11,100)))
＝－110.
8．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{eq \f(Sn,n)}的前n项和，求数列{eq \f(Sn,n)}的前n项和Tn.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则
Sn＝na1＋eq \f(1,2)n(n－1)D．
∵S7＝7，S15＝75，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7a1＋21d＝7,15a1＋105d＝75))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋3d＝1,a1＋7d＝5))，
解得a1＝－2，d＝1.
∴eq \f(Sn,n)＝a1＋eq \f(1,2)(n－1)d＝－2＋eq \f(1,2)(n－1)，
∵eq \f(Sn＋1,n＋1)－eq \f(Sn,n)＝eq \f(1,2)，
∴数列{eq \f(Sn,n)}是等差数列，其首项为－2，公差为eq \f(1,2)，
∴Tn＝eq \f(1,4)n2－eq \f(9,4)n.