人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理综合训练题

课时训练1　正弦定理

一、正弦定理变形的应用

1.在△ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是(　　)

A. B.

C.asin B=bcos A D.a=bsin A

答案:B

解析:在△ABC中,由正弦定理得,即.

2.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于(　　)

A.3∶2∶1 B.∶2∶1

C.∶1 D.2∶∶1

答案:D

解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由A+B+C=π,可得C=,故A=,B=,C=.

∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶=2∶∶1.故选D.

3.在△ABC中,A=60°,a=3,则等于(　　)

A. B.

C. D.2

答案:D

解析:利用正弦定理及比例性质,得

=2.

二、利用正弦定理解三角形

4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于(　　)

A.4 B.4 C.4 D.

答案:A

解析:∵B=60°,C=75°,

∴A=180°-60°-75°=45°.

∴由正弦定理可得b==4.

故选A.

5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=,B=60°,那么A=(　　)

A.45° B.135°

C.45°或135° D.60°

答案:A

解析:由正弦定理可得sin A=,但a<b,所以A<B,故A只能是锐角45°.

6.(2015河南南阳高二期中,2)在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则边BC长度的取值范围为(　　)

A.(2,4) B.(2,4)

C.(4,+∞) D.(2,4)

答案:B

解析:∵满足条件的△ABC有两解,

∴ABsin 30°<BC<4.

∴2<BC<4,故选B.

7.在△ABC中,a=,b=,B=45°,则A=　　　　　. 

答案:60°或120°

解析:由正弦定理,得sin A=.

∵a>b,∴A=60°或A=120°.

8.在△ABC中,已知a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长.

解:∵B=120°,C=15°,

∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°.

∵B最大,∴b最大.

由正弦定理,得

b=.

9.在△ABC中,已知a=2,c=,C=,求A,B,b.

解:∵,∴sin A=.

∵c>a,∴C>A.∴A=.

∴B=,b=+1.

三、判断三角形形状

10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不确定

答案:B

解析:∵bcos C+ccos B=asin A,

∴由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,

即sin(B+C)=sin Asin A,可得sin A=1,

故A=,故三角形为直角三角形.

故选B.

11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC的形状为(　　)

A.直角三角形 B.锐角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

答案:C

解析:由b=2ccos A,根据正弦定理,

得sin B=2sin Ccos A,

∵在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,

代入上式,可得sin Acos C+cos Asin C=2sin Ccos A,

即sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,

又-π<A-C<π,

∴A-C=0,即A=C.

同理A=B,∴△ABC为等边三角形,故选C.

12.(2015山东威海高二期中,7)在△ABC中,若,则△ABC的形状是(　　)

A.直角三角形

B.等腰非等边三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

答案:C

解析:∵,

∴,

可化为,

即sin=sin=sin.

∵A,B,C均为三角形的内角,

∴A=B=C.

即△ABC为等边三角形.故选C.

(建议用时:30分钟)

1.(2015福建厦门高二期末,3)在△ABC中,若A=30°,B=45°,BC=,则AC等于(　　)

A. B.2 C.1 D.

答案:B

解析:由正弦定理可得,

从而有AC==2,故选B.

2.在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B等于 (　　)

A.105° B.60°

C.15° D.105°或15°

答案:D

解析:由正弦定理,得

,sin C=.

∵a<c,∴A<C,∴C=45°或135°.

再由A+B+C=180°,求出B=105°或15°.

3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=(　　)

A.- B. C.-1 D.1

答案:D

解析:根据正弦定理=2R得,

a=2Rsin A,b=2Rsin B,

∴acos A=bsin B可化为sin Acos A=sin2B.

∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.

4.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=,则的值为(　　)

A.2 B. C. D.1

答案:C

解析:由正弦定理得=2cos A=.

5.在△ABC中,b=2,a=2,且三角形有解,则A的取值范围是(　　)

A.0°<A<30° B.0°<A≤45°

C.60°<A<90° D.30°<A<60°

答案:B

解析:∵△ABC有解,∴b·sin A≤a,即sin A≤.

又a<b,∴A为锐角.∴0°<A≤45°.

6.在△ABC中,若a=3,b=,A=60°,则角C的大小为　　　　　. 

答案:90°

解析:由正弦定理得,,从而,

即sin B=,∴B=30°或B=150°.

由a>b可知B=150°不合题意,∴B=30°.

∴C=180°-60°-30°=90°.

7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是　　　　. 

答案:等边三角形

解析:由正弦定理可将3b=2asin B化为3sin B=2sin Asin B.∴sin A=.

∵△ABC为锐角三角形,∴A=.

又∵cos B=cos C,0<B<,0<C<,∴B=C.

∴△ABC为等边三角形.

8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B=　　　　. 

答案:

解析:由正弦定理=2R,

得2Rsin Asin Bcos C+2Rsin Csin Bcos A=×2Rsin B.

由0<B<π,所以sin B≠0,从而sin(A+C)=,

即sin(π-B)=sin B=.

因为a>b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=.

9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.

解:由已知得,

由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径),

∴.

∴sin Acos A=sin Bcos B.

∴sin 2A=sin 2B.

又A,B为三角形的内角,

∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.

∴△ABC为等腰或直角三角形.

10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,a=2,A=30°,求ac的值.

解:由正弦定理得

sin B=.

由条件b=6,a=2,知b>a,所以B>A.

∴B=60°或120°.

(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.

在Rt△ABC中,C=90°,a=2,b=6,则c=4,

∴ac=2×4=24.

(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C,则有a=c=2.

∴ac=2×2=12.