数学必修51.2 应用举例综合训练题

课时训练3　解三角形的实际应用举例

一、测量中的距离问题

1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是(　　)

A.5 B.5 C.10 D.10

答案:D

解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,∠ACB=60°.

∴AB=5,BC=5,

在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=15.

∴CD=BD-BC=10.

2.(2015福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60°处;行驶4 h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15°处,这时船与灯塔的距离为　　　　　km. 

答案:30

解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75°-30°=45°,

在△ABC中,根据正弦定理得,,即,∴BC=30 km,

即此时船与灯塔的距离为30 km.

3.(2015福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20°,一条笔直公路AB,其中B在A城南偏东40°,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是　　　　　千米. 

答案:24

解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,

在△BCD中,由余弦定理得cos∠BDC==-.

设∠ADC=α,则cos α=,sin α=.

在△ACD中,由正弦定理,得AC==24.

二、测量中的高度与角度问题

4.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是β,α(α<β),则A点距离地面的高度AB等于(　　)

A. B.

C. D.

答案:A

解析:在△ACD中,∠DAC=β-α,DC=a,∠ADC=α,由正弦定理得AC=,

∴在Rt△ACB中,AB=ACsin β=.

5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示),则旗杆的高度为(　　)

A.10 m B.30 m C.10 m D.10 m

答案:B

解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,

∴∠EAC=180°-45°-105°=30°,

由正弦定理知,

∴AC==20(m),

∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=30(m).

∴旗杆的高度为30 m.

6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10 n mile C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sin θ的值等于(　　)

A. B. C. D.

答案:D

解析:根据题目条件可作图如图:

在△ABC中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠CAB=202+102-2×20×10cos 120°=700,

∴BC=10.

再由正弦定理得,

∴sin∠ACB=

=.

又0°<∠ACB<90°,

∴cos∠ACB=,

∴sin θ=sin(30°+∠ACB)

=sin 30°cos∠ACB+cos 30°sin∠ACB

=.

7.某海岛周围38 n mile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30 n mile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船　　　　触礁的危险(填“有”或“无”). 

答案:无

解析:由题意在△ABC中,AB=30 n mile,∠BAC=30°,

∠ABC=135°,∴∠ACB=15°.

由正弦定理,得BC=·sin∠BAC=·sin 30°==15().

在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)>38.

∴无触礁的危险.

8.如图,在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ且与点A相距10海里的位置C.

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);

(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

解:(1)因为AB=40,AC=10,∠BAC=θ,sin θ=,0°<θ<90°,

所以cos θ=.

由余弦定理得BC

==10,所以该船的行驶速度为v==15(海里/小时).

(2)设直线AE与BC的延长线相交于点Q.

在△ABC中,由余弦定理得

cos∠ABC=

=,

所以sin∠ABC=.

在△ABQ中,由正弦定理得

AQ==40.

因为AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.

过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×=3<7.

故该船会进入警戒水域.

(建议用时:30分钟)

1.如图,已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(　　)的位置.

A.北偏东10°

B.北偏西10°

C.南偏东10°

D.南偏西10°

答案:B

解析:由图可知,∠ACB=180°-(40°+60°)=80°.

又∵AC=BC,

∴∠A=∠CBA=(180°-80°)=50°.

∵CE∥BD,∴∠CBD=∠BCE=60°,

∴∠ABD=60°-50°=10°.

∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°的位置.

2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点(点A,B与树根部在同一直线上),从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为(　　)

A.(30+30) m B.(30+15) m

C.(15+30) m D.(15+3) m

答案:A

解析:设树高为h,则由题意得h-h=60,

∴h==30(+1)=(30+30)(m).

3.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距8 n mile,则灯塔S在B处的(　　)

A.北偏东75°

B.东偏南75°

C.北偏东75°或东偏南75°

D.以上方位都不对

答案:C

解析:根据题意画出示意图,如图,

由题意可知AB=32×=16,

BS=8,∠A=30°.

在△ABS中,由正弦定理得,sin S=,

∴S=45°或135°,

∴B=105°或15°,

即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°.

4.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为(　　)

A.) n mile/h 

B.) n mile/h

C.) n mile/h 

D.) n mile/h

答案:B

解析:如图,设货轮的时速为v,则在△AMS中,∠AMS=45°,∠SAM=105°,∠ASM=30°,SM=20,AM=3v.

由正弦定理得,

即v=

=)(n mile/h).

5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为(　　)

A.d1>d2 B.d1=d2

C.d1<d2 D.不能确定大小

答案:C

解析:如图,B,C,D分别是第一、二、三辆车所在的位置,由题意可知α=β.

在△PBC中,,

在△PCD中,,

∵sin α=sin β,sin∠PCB=sin∠PCD,

∴.

∵PB<PD,∴d1<d2.

6.如图,某人于地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°,过1 min后到B再测得仰角为45°,如果该飞机以450 km/h的速度沿水平方向飞行,则飞机的高度为　　　　 km. 

答案:

解析:如图,∠DCA=60°,∠DCB=45°,设飞机高为h,则BD=h,AD=h.

又AB=450×=7.5,

由AD-BD=AB得h-h=7.5.

∴h=.

7.一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是　　　　 km. 

答案:3

解析:如图,由条件知,AB=24×=6(km).

在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°.

由正弦定理,得,

∴BS==3.

8.海上一观测站测得方位角为240°的方向上有一艘停止待修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为90 n mile/h.此时海盗船距观测站10 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mile,再过　　　　min,海盗船到达商船. 

答案:

解析:如图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A,B,C处,20 min后,海盗船到达D处,在△ADC中,AC=10,AD=20,CD=30,

由余弦定理,得cos∠ADC=.

∴∠ADC=60°,在△ABD中,由已知,得∠ABD=30°,∠BAD=60°-30°=30°,

∴BD=AD=20,×60=(min).

9.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向,距离为12 km,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为8 km,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°方向,求:

(1)A处与D处的距离;

(2)灯塔C与D处的距离.

解:(1)在△ABD中,∠ADB=60°,∠B=45°,

由正弦定理得AD=

==24(km).

∴A处与D处的距离为24 km.

(2)在△ACD中,由余弦定理得

CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°,

解得CD=8(km).

∴灯塔C与D处的距离为8 km.

10.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°相距20(+1) n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1) h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.

解:如图所示,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一直线上,且AD=20,AC=20.

由题意AB=20(+1),DC=20,

BC=(+1)×10.

在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2,

∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.

在△ABC中,由余弦定理得

cos∠BAC=.

∴∠BAC=30°.

又∵B位于A南偏东60°,60°+30°+90°=180°,

∴D位于A的正北方向.

又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量的方向.即北偏西45°方向.

答:台风向北偏西45°方向移动.