高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试当堂检测题

第一章过关检测

(时间:90分钟　满分:100分)

知识点分布表

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)

1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为(　　)

A.A>B

B.A<B

C.A≥B

D.A,B的大小关系不能确定

答案:A

解析:∵sin A>sin B,∴2Rsin A>2Rsin B,

即a>b.∴A>B.

2.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为(　　)

A.2 B.8 C. D.

答案:C

解析:∵=2R=8,∴sin C=,

∴S△ABC=absin C=abc=×16.

3.在△ABC中,A=60°,AC=16,面积S=220,则BC长为(　　)

A.20 B.75 C.51 D.49

答案:D

解析:由S=AC·AB·sin A=×16×AB·sin 60°=4AB=220,解得AB=55.再用余弦定理求得BC=49.

4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若=2c,则A的大小是(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:∵=2c,∴由正弦定理得2sin C=≥2=2,当且仅当时等号成立,∴sin C=1,C=,A=.

5.在△ABC中,b=asin C,c=acos B,则△ABC一定是 (　　)

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.等边三角形

C.直角三角形但不是等腰三角形

D.等腰直角三角形

答案:D

解析:由c=acos B得,c=a×,

∴a2=b2+c2,∴△ABC为直角三角形,

∴b=asin C=a×=c,

∴△ABC是等腰直角三角形.

6.钝角三角形的三边为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围是(　　)

A.0<a<3 B.≤a<3

C.2<a≤3 D.1≤a<

答案:B

解析:∵三角形为钝角三角形,

∴

⇒≤a<3.

7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且,则角C的值为(　　)

A.45° B.60° C.90° D.120°

答案:C

解析:由b2+c2-bc=a2,

得b2+c2-a2=bc,

∴cos A=.

∴A=60°,又,∴.

∴sin B=sin A=.

∴B=30°,∴C=180°-A-B=90°.

8.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为(　　)

A. B.

C. D.

答案:D

解析:设BD=a,则BC=2a,AB=AD=a.

在△ABD中,由余弦定理,得

cos A=

=.

又∵A为△ABC的内角,∴sin A=.

在△ABC中,由正弦定理得,.

∴sin C=·sin A=.

9.设a,b,c是△ABC的三条边长,对任意实数x,f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2,有(　　)

A.f(x)=0 B.f(x)>0

C.f(x)≤0 D.f(x)<0

答案:B

解析:由余弦定理可得f(x)=b2x2+2bccos A·x+c2,

∵Δ=(2bccos A)2-4b2c2=4b2c2·(cos2A-1)<0,且b2>0,∴f(x)>0.

10.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于(　　)

A.30(+1) m B.120(-1) m

C.180(-1) m D.240(-1) m

答案:B

解析:如图,∠DAB=15°,

∵tan 15°=tan(45°-30°)==2-.

在Rt△ADB中,又AD=60,

∴DB=AD·tan 15°=60×(2-)=120-60.

在Rt△ADC中,∠DAC=60°,AD=60,

∴DC=AD·tan 60°=60.

∴BC=DC-DB=60-(120-60)=120(-1)(m).

∴河流的宽度BC等于120(-1) m,故选B.

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)

11.设△ABC的外接圆半径为4,且sin Bsin C+sin2B+sin2C=sin2A,则a=　　　　. 

答案:4

解析:依题意,得bc+b2+c2=a2,

即cos A==-=-,

∴cos A=-,A=120°.又∵=2R,

∴a=2Rsin A=2×4×sin 120°=4.

12.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则=　　　　,AC的取值范围为　　　　. 

答案:2　()

解析:由正弦定理得.

∵B=2A,BC=1,∴.

∴=2.

∵△ABC是锐角三角形,

∴0°<2A<90°且A+B=3A>90°,

∴30°<A<45°.

又AC=2cos A,

∴AC∈().

13.如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为　　　　 m. 

答案:1 000

解析:如图,∠SAB=45°-30°=15°,

又∠SBD=15°,∴∠ABS=30°.

又AS=1 000 m,由正弦定理知,

∴BS=2 000sin 15°.

∴BD=BS·sin 75°=2 000sin 15°·cos 15°=1 000sin 30°=500(m),

且DC=ST=1 000sin 30°=500(m),

从而BC=DC+DB=1 000(m).

14.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角B=　　　　　. 

答案:

解析:由m⊥n,得cos A-sin A=0,即A=.

由余弦定理及acos B+bcos A=csin C,有a·+b·=csin C,

即2c2=2c2sin C,∴sin C=1,

解得C=,∴B=π-.

三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)

15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B.

(1)求角B的大小;

(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.

解:(1)由bsin A=acos B及正弦定理,得sin B=cos B,

所以tan B=,所以B=.

(2)由sin C=2sin A及,得c=2a.

由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accos B,

得9=a2+c2-ac.

所以a=,c=2.

16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.

(1)求A的大小;

(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.

解:(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,则a2=b2+c2+bc.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得cos A=-.

又A∈(0°,180°),∴A=120°.

(2)由(1)中a2=b2+c2+bc,结合正弦定理,

可得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=.

又sin B+sin C=1,∴sin B=sin C=.

∵0°<B<60°,0°<C<60°,∴B=C.

∴△ABC是等腰钝角三角形.

17.已知a,b,c分别为△ABC三内角A,B,C的对边,B=,c=8,cos C=-.

(1)求b的值;

(2)求△ABC的面积.

解:(1)∵cos C=-,∴sin C=.

∵,B=,∴,即b=7.

(2)∵sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)

=sin Bcos C+cos Bsin C

=,

∴S△ABC=bcsin A=×8×7×=6.

18.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.

(1)求索道AB的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,

所以sin A=,sin C=.

从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)

=sin Acos C+cos Asin C

=.

由正弦定理得,

得AB=×sin C==1 040(m).

所以索道AB的长为1 040 m.

(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离A处130t m,

所以由余弦定理得

d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×

=200(37t2-70t+50),

因为0≤t≤,即0≤t≤8,

故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.

(3)由正弦定理,

得BC=×sin A==500(m).

乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.

设乙步行的速度为v m/min,

由题意得-3≤≤3,

解得≤v≤,

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)内.