高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.2 应用举例一课一练

课时训练4　三角形中的几何计算

一、与三角形面积有关的计算

1.在△ABC中,c=,b=1,B=30°,则△ABC的面积为 (　　)

A. B.

C. D.

答案:B

解析:由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B,

即1=a2+3-2acos 30°,

化简得a2-3a+2=0.

∴a=1或a=2.

又S△ABC=acsin B=a,

∴S△ABC=.

2.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=(　　)

A.5 B. C.2 D.1

答案:B

解析:根据三角形面积公式,得BA·BC·sin B=,即×1××sin B=,

得sin B=,其中C<A.

若B为锐角,则B=,所以AC==1=AB,易知A为直角,此时△ABC为直角三角形,不符合题意,所以B为钝角,即B=,所以AC=.

3.(2015山东威海高二期中,10)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,2sin=1,b=1,△ABC的面积是,则边c等于(　　)

A.2 B. C.2 D.2

答案:A

解析:∵sin,A∈(0,π),

∴2A+,可得A=.

∵b=1,△ABC的面积为.

∴S=bcsin A=,即×1×c×,

解得c=2,故选A.

4.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于　　　　　. 

答案:2

解析:在△ABC中,根据正弦定理,得,

所以,解得sin B=1.

因为B∈(0°,120°),所以B=90°,所以C=30°

所以△ABC的面积S△ABC=·AC·BC·sin C=2.

5.(2015河南郑州高二期末,19)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2csin B.

(1)求角C的大小;

(2)若c2=(a-b)2+6,求△ABC的面积.

解:(1)由正弦定理,及b=2csin B,

得sin B=2sin Csin B,

∵sin B≠0,∴sin C=.

∵C为锐角,∴C=60°.

(2)由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a-b)2+ab,

∵c2=(a-b)2+6,∴ab=6.

则S△ABC=absin C=.

二、三角形中的有关计算

6.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,则AB的长为(　　)

A.5 B.5

C.5 D.5

答案:D

解析:在△ACD中,cos C=.

∴sin C=.

在△ABC中,由正弦定理得,

∴AB==5.

7.如图,四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,该四边形面积为　　　　. 

答案:5

解析:连接BD,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 120°

=4+4+4,

∴BD=2.

S四边形=S△ABD+S△BCD

=×4×2×2×2sin 120°=5.

8.(2015福建宁德五校联考,20)如图,在平面四边形ABCD中,AB=3,AC=6,∠ACB=45°.

(1)求∠ACB的大小;

(2)若∠CAD=∠CBD=60°,求CD的长.

解:(1)在△ABC中,由正弦定理,得,

即.

整理,得sin∠ABC=1,则∠ABC=90°.

(2)由(1)得∠CAB=180°-90°-45°=45°,

又∵∠CAD=∠CBD=60°,∴∠ABD=30°.

在△ABD中,∠ADB=180°-105°-30°=45°,

由正弦定理,

得AD==3,

在△ABD中,由余弦定理得,CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC=9+36-18=27,

∴CD=3.

三、与三角形有关的证明问题

9.在△ABC中,求证:.

证明:右边=

=·cos B-·cos A

=

==左边,

故结论成立.

10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c.

证明:由余弦定理的推论得cos B=,cos A=,代入等式右边,得

右边=c

==左边,

∴=c.

(建议用时:30分钟)

1.已知方程x2sin A+2xsin B+sin C=0有重根,则△ABC的三边a,b,c的关系满足(　　)

A.b=ac B.b2=ac

C.a=b=c D.c=ab

答案:B

解析:由方程有重根,∴Δ=4sin2B-4sin Asin C=0,

即sin2B=sin Asin C,∴b2=ac.

2.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则角A的对边的长为(　　)

A. B. C. D.

答案:D

解析:∵S△ABC=bcsin A=×1×c×sin 60°=,

∴c=4.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos 60°=1+16-2×4×=13.

∴a=.

3.在△ABC中,已知a=3,cos C=,S△ABC=4,则b=(　　)

A. B.2 C.4 D.3

答案:B

解析:在△ABC中,sin C=,

则由S△ABC=absin C,得×3×b=4,∴b=2.

4.(2015河南南阳高二期中,5)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知三角形ABC的面积S=,则C的大小是(　　)

A.45° B.30° C.90° D.135°

答案:A

解析:∵△ABC中,S=absin C,a2+b2-c2=2abcos C,且S=,

∴absin C=abcos C.

整理,得sin C=cos C,即tan C=1,则C=45°.

故选A.

5.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于(　　)

A.1+ B.

C. D.2+

答案:A

解析:由ac·sin 30°=,得ac=6,

由余弦定理得b2=a2+c2-2accos 30°

=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,

∴b=+1.

6.在△ABC中,B=60°,AB=1,BC=4,则BC边上的中线AD的长为　　　　. 

答案:

解析:∵AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos 60°=3,

∴AD=.

7.在△ABC中,BC=2,B=,当△ABC的面积等于时,sin C=　　　　. 

答案:

解析:由三角形的面积公式S=AB·BCsin,易求得AB=1,由余弦定理得AC=,再由三角形的面积公式S=AC·BCsin C=,即可得出sin C=.

8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则a与b的大小关系是　　　　. 

答案:a>b

解析:由正弦定理得,.

∴sin A=.

∴A>30°,则B<30°.∴a>b.

9.(2015陕西高考,理17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.

(1)求A;

(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.

(1)解:因为m∥n,所以asin B-bcos A=0.

由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0.

又sin B≠0,从而tan A=.

由于0<A<π,所以A=.

(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,而a=,b=2,A=,

得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.

因为c>0,所以c=3.

故△ABC的面积为bcsin A=.

解法二:由正弦定理,得,

从而sin B=.

又由a>b,知A>B,所以cos B=.

故sin C=sin(A+B)=sin

=sin Bcos+cos Bsin.

所以△ABC的面积为absin C=.

10.△ABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a.

(1)求;

(2)若c2=b2+a2,求B.

解:(1)由正弦定理,得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,

即sin B(sin2A+cos2A)=sin A.

故sin B=sin A,所以.

(2)由余弦定理和c2=b2+a2,

得cos B=.

由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.

可得cos2B=,

又cos B>0,故cos B=,所以B=45°.