高中数学人教版新课标A必修52.2 等差数列课堂检测

课时训练7　等差数列

一、等差数列通项公式的应用

1.等差数列{an}中,a2=-5,d=3,则a5为(　　)

A.-4 B.4 C.5 D.6

答案:B

解析:a5=a1+4d=(a1+d)+3d=a2+3d=-5+3×3=4.

2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值为(　　)

A.49 B.50 C.51 D.52

答案:D

解析:∵2an+1=2an+1,∴an+1=an+.

∴an+1-an=.

∴数列{an}是首项为2,公差为的等差数列.

∴a101=a1+(101-1)d=2+=52.

3.(2015福建厦门高二期末,2)已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+3(n≥2),则a100等于(　　)

A.297 B.298 C.299 D.300

答案:B

解析:由an=an-1+3(n≥2),得an-an-1=3(n≥2),

即数列{an}是以3为公差的等差数列.

又a1=1,∴a100=1+(100-1)×3=298.

4.若等差数列{an}的公差为整数,首项为19,从第6项开始为负值,则公差为(　　)

A.-5 B.-4 C.-3 D.-2

答案:B

解析:设等差数列{an}的公差为d(d∈Z),

依题意得a6=a1+5d=19+5d<0,

即d<-,a5=a1+4d=19+4d≥0,

即d≥-,所以-≤d<-,

又d∈Z,所以d=-4.

5.等差数列{an}中,a2=5,a4=a6+6,则a1=　　　　. 

答案:8

解析:由a4=a6+6,得2d=a6-a4=-6,∴d=-3.

又∵a1=a2-d=5-(-3)=8,∴a1=8.

二、等差中项的应用

6.(2015福建宁德五校联考,1)已知实数m是1和5的等差中项,则m等于(　　)

A. B.± C.3 D.±3

答案:C

解析:因为实数m是1和5的等差中项,

所以2m=1+5=6,则m=3.故选C.

7.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(　　)

A.2 B.3 C.6 D.9

答案:B

解析:依题意可得m+2n=8,2m+n=10,故3m+3n=18⇒m+n=6,故m和n的等差中项是3.

8.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值为 (　　)

A.1 B.0或32 C.32 D.log25

答案:D

解析:由题意得lg 2+lg(2x+3)=2lg(2x-1),

所以2(2x+3)=(2x-1)2,

解得2x=5或2x=-1(舍去),所以x=log25.

三、等差数列的判断与证明

9.(2015山东威海高二期中,21)数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*).令bn=a2n,求证{bn}是等差数列,并求{bn}的通项公式.

解:当n≥2时,bn-bn-1=a2n-a2n-2=2,

∴{bn}是等差数列,且b1=a2=2,

∴bn=2n.

10.已知成等差数列,求证:a2,b2,c2成等差数列.

证明:∵是等差数列,

∴.

∴(a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c).

∴(c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c).

∴2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2.

∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2成等差数列.

(建议用时:30分钟)

1.数列{an}的通项公式an=4n-7,则此数列是(　　)

A.公差为4的等差数列

B.公差为-7的等差数列

C.首项为-7的等差数列

D.公差为n的等差数列

答案:A

解析:an+1-an=4(n+1)-4n=4.故选A.

2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是(　　)

A.45 B.46 C.47 D.92

答案:B

解析:由题可知,等差数列的首项a1=1,公差d=-2,且an=-89.

由an=a1+(n-1)d,解得n=46.故选B.

3.{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d= (　　)

A.-2 B.- C. D.2

答案:B

解析:

4.等差数列的相邻4项是a+1,a+3,b,a+b,那么a,b的值分别是(　　)

A.2,7 B.1,6

C.0,5 D.无法确定

答案:A

解析:由等差中项知识得解得

5.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围为(　　)

A.d> B.d<3

C.≤d<3 D.<d≤3

答案:D

解析:设公差为d,an=-24+(n-1)d,

∴

∴<d≤3.

6.已知等差数列{an}中,a1<a2<…<an,且a3,a6为x2-10x+16=0的两个实根,则此数列的通项公式是　　　　 

答案:an=2n-4

解析:由题意得

又a1<a2<…<an,所以解得a3=2,a6=8,

所以a1=-2,d=2.

从而an=-2+2(n-1),即an=2n-4.

7.已知a,b,c成等差数列,那么二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的公共点的个数是　　　　. 

答案:1或2

解析:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.

二次函数y=ax2+2bx+c的判别式Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,

∴图象与x轴有一个或两个公共点.

8.若x≠y,且x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自都成等差数列,则=　　　　. 

答案:

解析:由题知a2-a1=d1=,b2-b1=d2=,

∴.

9.某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?

解:由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,…,每年获利构成等差数列{an},且当an<0时,该公司会出现亏损.

设从第1年起,第n年的利润为an,则a1=200,an-an-1=-20(n≥2,n∈N*),

所以每年的利润an可构成一个等差数列{an},且公差d=-20,

从而an=a1+(n-1)d=220-20n.

若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,

所以由an=220-20n<0,得n>11,

即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.

10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.

(1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列,求an和an-1(n≥2)的关系式;

(2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列.

解:(1)由等方差数列的定义可知:=p(n≥2).

(2)∵{an}是等差数列,设公差为d,

则an-an-1=an+1-an=d(n≥2).

又{an}是等方差数列,

∴(n≥2),

∴(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an),

即d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0.

∴d=0,即{an}是常数列.