高中数学2.2 等差数列课时训练

课时训练8　等差数列的性质

一、等差数列性质的应用

1.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10= (　　)

A.12 B.16 C.20 D.24

答案:B

2.等差数列{an}中,若a2+a4 024=4,则a2 013=(　　)

A.2 B.4 C.6 D.-2

答案:A

解析:2a2 013=a2+a4 024=4,∴a2 013=2.

3.在等差数列{an}中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8等于(　　)

A.24 B.22 C.20 D.-8

答案:A

解析:根据等差数列的性质可知a3+a13=2a8,所以已知等式可变为2a8+3a8=120,解得a8=24,所以a3+a13-a8=2a8-a8=a8=24.

4.如果等差数列{an}中,a1=2,a3=6,则数列{2an-3}是公差为　　　　　的等差数列. 

答案:4

解析:设数列{an}的公差为d,则a3-a1=2d=4,

∴d=2.∴数列{2an-3}的公差为4.

5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=　　　　　. 

答案:13

解析:设等差数列{an}的公差为d.

∵a5=a2+6,∴a5-a2=6,即3d=6,d=2.

∴a6=a3+3d=7+3×2=13.

6.(2015河南郑州高二期末,14)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=　　　　　. 

答案:

解析:由等差数列的性质可得2b=2+9,解得b=.

又可得2a=2+b=2+,解得a=,

同理可得2c=9+,解得c=,

故c-a=.

二、等差数列的综合应用

7.已知等差数列{an}中,a7=,则tan(a6+a7+a8)等于 (　　)

A.- B.- C.-1 D.1

答案:C

解析:在等差数列中,a6+a7+a8=3a7=,

∴tan(a6+a7+a8)=tan=-1.

8.已知数列{an}是等差数列,a4=15,a7=27,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为(　　)

A.4 B. C.-4 D.-

答案:A

解析:由数列{an}是等差数列,知an是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an),因此过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率即过点(4,15),(7,27)的直线斜率,所以直线的斜率k==4.

9.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,则a10-a14的值为(　　)

A.12 B.14 C.16 D.18

答案:A

解析:由等差数列的性质及a4+a6+a8+a10+a12=90得5a8=90,即a1+7d=18,∴a10-a14=a1+9d-(a1+13d)=(a1+7d)=×18=12,故选A.

10.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.

(1)当a2=-1时,求λ与a3的值;

(2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由.

解:(1)由条件得a2=(2-λ)a1,又a1=1,a2=-1,所以λ=3,从而a3=(22+2-3)a2=-3.

(2)假设数列{an}是等差数列,由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an得a2=2-λ,

a3=(6-λ)(2-λ),

a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).

由假设知2a2=a1+a3,

即2(2-λ)=1+(6-λ)(2-λ),解得λ=3,

于是a2=-1,a3=-3,a4=-27,所以a2-a1=-2,而a4-a3=-24,与数列{an}是等差数列矛盾,故数列{an}不可能是等差数列.

(建议用时:30分钟)

1.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

答案:C

解析:由等差数列性质得a2+a8=2a5=12,所以a5=6.

2.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为(　　)

A.6 B.12 C.24 D.48

答案:D

解析:∵a1+a15=2a8,∴a1+3a8+a15=5a8.

∴5a8=120,a8=24.

而3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48.

∴选D.

3.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为(　　)

A.p+q B.0 C.-(p+q) D.

答案:B

解析:公差d==-1,∴ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0.

4.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an,…组成一个数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是(　　)

A.该新数列不是等差数列

B.是公差为d的等差数列

C.是公差为2d的等差数列

D.是公差为3d的等差数列

答案:C

解析:∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,

∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.

5.已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则cos(a3+a7)的值为(　　)

A. B.- C. D.-

答案:D

解析:∵{an}为等差数列,a1+a5+a9=8π,

∴a5=π,cos(a3+a7)=cos(2a5)=cos π=-.

6.等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d=　　　　. 

答案:-6

解析:由题知d==-6.

7.在等差数列{an}中,已知a8+m=10,a8-m=6,其中m∈N*,且1≤m≤7,则a8=　　　　　. 

答案:8

解析:∵a8+m+a8-m=2a8,∴a8=8.

8.如果有穷数列a1,a2,…,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,c2=　　　　. 

答案:19

解析:因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,又{cn}为21项的对称数列,所以c2=c20=c11+9d=1+9×2=19.

9.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.

解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15.∴a4=5.

又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9.

即(a4-2d)(a4+2d)=9,

即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.

若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3;

若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n.

10.已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.

解:解法一:因为{an}为等差数列,

∴a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,a15为首项,则a60为其第4项,∴a60=a15+3d,得d=4.

∴a75=a60+d=20+4=24.

解法二:设{an}的公差为d,因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,

∴解得

故a75=a1+74d=+74×=24.