高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和复习练习题

课时训练6　数列的通项公式与递推公式

一、数列的单调性

1.已知数列an<0,且2an+1=an,则数列{an}是(　　)

A.递增数列 B.递减数列

C.常数列 D.无法判断

答案:A

解析:∵an<0,∴an+1-an=an-an=-an>0.

∴数列{an}是递增数列.

2.在数列{an}中,若an=-n2+12n-7,则此数列的最大项的值为　　　　　. 

答案:29

解析:an=-(n-6)2+29,所以当n=6时,an最大,解得a6=29.

二、由递推公式求数列中的项

3.若a1=1,an+1=,则给出的数列{an}的第7项是(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:由数列的首项和递推公式可以求出a2=,a3=,…,观察得到通项公式an=,所以a7=.

4.在数列{an}中,a1=-2,an+1=,则a2 012=(　　)

A.-2 B.- C.- D.3

答案:D

解析:∵a1=-2,an+1=,

∴a2=-,a3=,a4=3,a5=-2.

∴该数列是周期数列,周期T=4.

又2 012=503×4,∴a2 012=a4=3.

5.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=.

答案:8

解析:由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,

∴a5=a4+a3=8.

6.已知数列{an}满足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2 013=　　　　　;a2 014=　　　　　. 

答案:1　0

解析:a2 013=a504×4-3=1,a2 014=2a1 007=2a4×252-1=0.

7.数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　　. 

答案:

解析:a8==2,∴a7=.

又a7=,∴a6=-1.

又a6=,∴a5=2.

以此下去,可推出a1=.

三、由递推关系求通项公式

8.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+1(n≥2),则通项公式为(　　)

A.an=1 B.an=2n-1

C.an=n D.an=n+1

答案:C

解析:由an=an-1+1知an-an-1=1,

∴数列的相邻两项中后项比前项大1.∴通项公式为an=n.

9.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为(　　)

A.an=2n-1 B.an=2n-1

C.an= D.an=1+

答案:A

解析:方法一:由已知a1=1=21-1,a2=2×1+1=3=22-1,a3=2×3+1=7=23-1,…,

由此归纳得an=2n-1.

方法二:∵an+1+1=2(an+1),

∴=2,用累乘法可得an+1=2n.

∴an=2n-1.

10.(2015温州高二检测)已知数列{an},a1=1,以后各项由an=an-1+(n≥2)给出.

(1)写出数列{an}的前5项;

(2)求数列{an}的通项公式.

解:(1)a1=1;a2=a1+;

a3=a2+;a4=a3+;

a5=a4+.

(2)由已知得an-an-1=,

∴a2-a1=1-,a3-a2=,a4-a3=,……,an-an-1=.

左右分别累加得an-a1=1-,

所以an=a1+1-=2-.

(建议用时:30分钟)

1.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2).则a6等于(　　)

A.7 B.11 C.16 D.17

答案:C

解析:由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16.

2.已知数列{an}中,a1=2,an=-(n≥2),则a2 015等于(　　)

A.- B. C.2 D.-2

答案:C

解析:∵an+2=-=an,∴数列奇数项相同,偶数项相同.∴a2 015=a1=2.

3.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5等于(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:由已知得⇒a3=⇒a5=,∴a3+a5=.

4.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}(　　)

A.有最大项,没有最小项

B.有最小项,没有最大项

C.既有最大项又有最小项

D.既没有最大项也没有最小项

答案:C

解析:数列{an}的通项公式为an=,令t=(0<t≤1),

则an=t2-t=(0<t≤1).

故数列{an}有最大项和最小项,选C.

5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n个图有化学键(　　)

A.6n个 B.(4n+2)个

C.(5n-1)个 D.(5n+1)个

答案:D

解析:各图中的短线依次为6,6+5,6+5+5,…,若视6为5+1,则这个数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第n个图的化学键个数应为an=5n+1.

6.数列{an}满足an+1=若a1=,则a9等于　　　　. 

答案:

解析:a1=,∴a2=2a1-1=,

∴a3=2a2-1=,∴a4=2a3=,

同理a5=,a6=,a7=,a8=,a9=.

7.数列{an}中a1=1,a2=3,-an-1·an+1=(-1)n-1(n≥2),那么a4=　　　　. 

答案:33

解析:令n=2得-a1·a3=-1,∴a3=10.

令n=3代入,得-a2a4=(-1)2,∴a4=33.

8.设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2 014=　　　　　. 

答案:1

解析:x1=f(x0)=f(5)=2,

x2=f(x1)=f(2)=1,

x3=f(x2)=f(1)=4,

x4=f(x3)=f(4)=5=x0,

从而数列{xn}是周期为4的数列,于是x2 014=x4×503+2=x2=1.

9.已知递增数列{an}的通项公式是an=n2+λn,求实数λ的取值范围.

解:∵数列{an}是递增数列,∴an+1>an对n∈N*恒成立.

∵an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ,

∴2n+1+λ>0对n∈N*恒成立,

即λ>-2n-1对n∈N*恒成立,

又当n∈N*时-2n-1≤-3,∴λ>-3.

10.设数列{an},a1=0,an+1=,写出数列的前4项,并归纳出该数列的一个通项公式.

解:a1=0,a2=,a3=,a4=.

直接观察可以发现a3=可写成a3=,

这样可知an=(n∈N*,n≥2).

当n=1时,=0=a1,所以an=.