高中数学人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和习题

课时训练14　数列求和

一、分组求和

1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=(　　)

A.15 B.12 C.-12 D.-15

答案:A

解析:∵an=(-1)n(3n-2),

则a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.

2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n+2n(n∈N*),则an为(　　)

A.+2n-1-1 B.+2n-1

C.+2n+1-1 D.+2n+1-1

答案:B

解析:∵an+1=an+n+2n,∴an+1-an=n+2n.

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]

=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)

=1++2n-1.

3.(2015广东湛江高二期末,19)已知数列{an}为等差数列,a5=5,d=1;数列{bn}为等比数列,b4=16,q=2.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;

(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn.

解:(1)∵数列{an}为等差数列,a5=5,d=1,

∴a1+4=5,解得a1=1,∴an=1+(n-1)×1=n.

∵数列{bn}为等比数列,b4=16,q=2,

∴b1·23=16,解得b1=2,∴bn=2×2n-1=2n.

(2)∵cn=an+bn=n+2n,

∴Tn=(1+2+3+…+n)+(2+22+23+…+2n)

=+2n+1-2.

二、裂项相消法求和

4.数列{an}的通项公式an=,则其前n项和Sn=(　　)

A. B.

C. D.

答案:A

解析:∵an==2,

∴Sn=a1+a2+…+an

=2

=2.

5.+…+=　　　. 

答案:

解析:∵,

∴+…+

=.

6.(2015山东省潍坊四县联考,17)等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn.等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,a3=b3.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

(2)求数列的前n项和Tn.

解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,

由已知可得又q>0,∴

∴an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.

(2)由(1)知数列{an}中,a1=3,an=3n,

∴Sn=,∴,

∴Tn=

=.

三、错位相减法求和

7.数列,…,,…前n项的和为　　　　. 

答案:4-

解析:设Sn=+…+, ①

Sn=+…+, ②

①-②得

Sn=+…+

=2-.∴Sn=4-.

8.(2015湖北高考,文19)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.

解:(1)由题意有,

即解得

故

(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,

于是Tn=1++…+, ①

Tn=+…+. ②

①-②可得Tn=2++…+=3-,故Tn=6-.

(建议用时:30分钟)

1.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为(　　)

A.11 B.99 C.120 D.121

答案:C

解析:∵an=,

∴Sn=a1+a2+…+an=(-1)+()+…+()=-1,令-1=10,得n=120.

2.已知数列{an}的通项公式an=,其前n项和Sn=,则项数n等于(　　)

A.13 B.10 C.9 D.6

答案:D

解析:an==1-.

∴Sn=n-=n-1+=5+,

∴n=6.

3.数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2 012等于(　　)

A.1 006 B.2 012 C.503 D.0

答案:A

解析:∵函数y=cos的周期T==4,

∴可分四组求和:

a1+a5+…+a2 009=0,

a2+a6+…+a2 010=-2-6-…-2 010==-503×1 006,

a3+a7+…+a2 011=0,

a4+a8+…+a2 012=4+8+…+2 012==503×1 008.

故S2 012=0-503×1 006+0+503×1 008

=503×(-1 006+1 008)=1 006.

4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则+…+等于(　　)

A.(2n-1)2 B.(2n-1)

C.4n-1 D.(4n-1)

答案:D

解析:根据前n项和Sn=2n-1,可求出an=2n-1,

由等比数列的性质可得{}仍为等比数列,且首项为,公比为q2,

∴+…+=1+22+24+…+22n-2

=(4n-1).

5.已知数列{an}:,…,那么数列{bn}=前n项的和为(　　)

A.4 B.4

C.1- D.

答案:A

解析:∵an=,

∴bn==4.

∴Sn

=4

=4.

6.如果lg x+lg x2+lg x10=110,那么lg x+lg2x+…+lg10x=　　　　. 

答案:2 046

解析:由已知(1+2+…+10)lg x=110,

∴55lg x=110.∴lg x=2.

∴lg x+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2 046.

7.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81.若数列{bn}满足bn=log3an,则数列的前2 013项的和为　　　　. 

答案:

解析:=q3=27,∴q=3.

∴an=a1·qn-1=3×3n-1=3n.∴bn=log3an=n.

∴,

∴数列的前2 013项的和为:

+…+

=1-.

8.已知等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a4·a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg an的前n项和Sn等于　　　　　. 

答案:1+(n-1)·2n

解析:∵{an}是等比数列,∴a4a2n-4==102n.

∴an=10n,∴2n-1lg an=n·2n-1.

利用错位相减法求得Sn=1+(n-1)2n.

9.正项数列{an}满足:-(2n-1)an-2n=0.

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

解:(1)由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.

由于{an}是正项数列,所以an=2n.

(2)由an=2n,bn=,

则bn=,

Tn=+…+.

10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.

(1)求an,bn;

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.

解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1.

当n=1时,4×1-1=3.

所以an=4n-1,n∈N*.

由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*.

(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N*.

所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.

故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.