高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课时作业

课时训练16　一元二次不等式及其解法

一、一元二次不等式的解法

1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为(　　)

A.{x|x≥6或x≤-1}

B.{x|-1≤x≤6}

C.{x|-6≤x≤1}

D.{x|x≤-6或x≥1}

答案:D

解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,

即(x+6)(x-1)≥0,

∴x≥1或x≤-6.

2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式的解集是　　　　　. 

答案:{x|x<2或x>3}

解析:因为指数函数y=2x是增函数,

所以化为x2-5x+5>-1,

即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.

所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.

3.解不等式:-2<x2-3x≤10.

解:原不等式等价于不等式组

不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.

不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.

故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].

二、三个二次之间的关系

4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a-b的值为(　　)

A.14 B.-14 C.10 D.-10

答案:D

解析:不等式ax2+bx+2>0的解集是,可得-是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个实数根,

∴-=-,-,

解得a=-12,b=-2.

∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D.

5.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c,f(-1),f(2),f(5)的大小关系是　　　　　. 

答案:f(2)<f(-1)<f(5)

解析:由ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax2+bx+c=0的两实根,所以

可得

所以f(x)=ax2-2ax-8a=a(x+2)(x-4).

因为a>0,所以f(x)的图象开口向上.

又对称轴方程为x=1,f(x)的大致图象如图所示,由图可得f(2)<f(-1)<f(5).

6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx2-ax-1>0的解集是　　　　　. 

答案:

解析:∵不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3),

∴一元二次方程x2-ax-b=0的根为x1=2,x2=3.

根据根与系数的关系可得:

所以a=5,b=-6.

不等式bx2-ax-1>0,即不等式-6x2-5x-1>0,

整理,得6x2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,

解之得-<x<-.

∴不等式bx2-ax-1>0的解集是.

三、含参不等式的解法

7.不等式(x+1)(x-a)<0的解集为{x|-1<x<2},则不等式>1的解集为　　　　　. 

答案:{x|x<-2或x>1}

解析:由已知不等式(x+1)(x-a)<0的解集为{x|-1<x<2}得x=2是(x+1)(x-a)=0的一个根,

∴a=2.

∴不等式>1可化为>1,移项通分得>0,

∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.

∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.

8.解关于x的不等式2x2+ax+2>0.

解:对于方程2x2+ax+2=0,其判别式Δ=a2-16=(a+4)(a-4).

①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x2+ax+2=0的两根为:

x1=(-a-),x2=(-a+).

∴原不等式的解集为

.

②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=-1;

当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=1.

∴原不等式的解集为{x|x≠±1}.

四、不等式恒成立问题

9.若一元二次不等式x2-ax+1>0恒成立,则a的取值范围是　　　　　. 

答案:-2<a<2

解析:由Δ=a2-4<0,解得-2<a<2.

10.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.

解:(1)当m2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;

(2)当m2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x恒为正数,

得

解得1<m<19.

综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).

(建议用时:30分钟)

1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是(　　)

A. 

B.

C. 

D.

答案:B

解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为,或x≥.

2.函数y=+log2(x+2)的定义域为 (　　)

A.(-∞,-1)∪(3,+∞)

B.(-∞,-1]∪[3,+∞)

C.(-2,-1]

D.(-2,-1]∪[3,+∞)

答案:D

解析:要使函数有意义,x的取值需满足

解得-2<x≤-1或x≥3.

3.已知0<a<1,关于x的不等式(x-a)>0的解集为(　　)

A. B.{x|x>a}

C. D.

答案:A

解析:∵0<a<1,∴>1,即a<,

∴不等式的解集为.

4.在R上定义运算=ad-bc,若成立,则x的取值范围是(　　)

A.{x|x<-4或x>1} B.{x|-4<x<1}

C.{x|x<-1或x>4} D.{x|-1<x<4}

答案:B

解析:由已知=x2+3x,=4,

∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-4<x<1.

5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集为(　　)

A.(-1,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)

C.(1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

答案:B

解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式>0可化为>0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).

6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是　　　　　. 

答案:{x|x<-3或x>2}

解析:由题意知∴b=-a,c=-6a.

∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,

又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,

∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.

7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案:(0,8)

解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.

即a2-8a<0,∴0<a<8.

8.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:由已知不等式的解集为R,

∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤.

∴由y=sin x的图象知,

当0≤α≤π时,解得0≤α≤≤α≤π.

9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,

(1)求A∪B;

(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.

解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1<x<3}.

解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5<x<1}.

∴A∪B={x|-5<x<3}.

(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5<x<3},

∴解得

∴2x2+x-15<0.

∴不等式解集为.

10.解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).

解:原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0,

化简为(x+1)(ax-2)≥0.

∵a<0,∴(x+1)≤0.

当-2<a<0时,≤x≤-1;

当a=-2时,x=-1;

当a<-2时,-1≤x≤.

综上所述,

当-2<a<0时,解集为;

当a=-2时,解集为{x|x=-1};

当a<-2时,解集为.