高二数学人教A必修5 模块综合检测 Word版含解析

这是一份高中数学本册综合复习练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识点分布表
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2015江西吉安联考,1)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )

A.1a<1bB.ac2+1>bc2+1
C.a2>b2D.a|c|>b|c|
答案:B
解析:A.∵当1>-2时,1<-12不成立,
∴1a<1b不成立.
B.∵c2+1≥1,a>b,∴ac2+1>bc2+1,故B正确.
C.∵当1>-2时,1>4不成立,
∴a2>b2不成立.
D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B.
2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为32,则BC的长为( )
A.3B.3C.7D.7
答案:A
解析:S=12×AB·ACsin 60°=12×2×32AC=32,
所以AC=1.
所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcs 60°=3.
所以BC=3,故选A.
3.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为( )
A.26B.29C.39D.52
答案:C
解析:因为5,x,y,z,21构成等差数列,所以y是x,z的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y,5+21=2y,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.
4.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcs C+ccs B=2b,则ab等于( )
A.1B.2C.2D.3
答案:C
解析:利用正弦定理,将bcs C+ccs B=2b化为sin Bcs C+sin Ccs B=2sin B,
即sin(B+C)=2sin B.
∵sin(B+C)=sin A,∴sin A=2sin B.
利用正弦定理可得a=2b,故ab=2.
5.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-43,则{an}的前10项和等于( )
A.-6(1-3-10)B.19(1-3-10)
C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)
答案:C
解析:由3an+1+an=0,得an+1an=-13.
所以{an}是以q=-13为公比的等比数列.
所以a1=a2·1q=-43×(-3)=4.
所以S10=41--13101+13=3(1-3-10),故选C.
6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x,y满足约束条件x≥1,x+y-4≤0,x-3y+4≤0,则目标函数z=3x-y的最大值为( )
A.-4B.0C.43D.4
答案:D
解析:画出不等式组表示的平面区域,
将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.
7.已知等差数列{an}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和Sn取最大值时,n的值为( )
A.20B.21C.22D.23
答案:B
解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-361a1,
由an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)-361a1≥0⇒n≤643=2113,
所以数列{an}前21项都是正数,以后各项都是负数,
故Sn取最大值时,n的值为21,选B.
8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足2a+1b=1,x=a+b,则实数x的取值范围是( )
A.[6,+∞)B.(22,+∞)
C.[42,+∞)D.[3+22,+∞)
答案:D
解析:∵2a+1b=1,
∴x=a+b=(a+b)2a+1b=2+1+2ba+ab≥3+22当且仅当2ba=ab,即b=2+1,a=2+2时,
等号成立 .故选D.
9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan Atan B>1,则△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.无法确定
答案:A
解析:因为A和B都为三角形中的内角,
由tan Atan B>1,得到1-tan Atan B<0,
且得到tan A>0,tan B>0,即A,B为锐角,
所以tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB<0,
则A+B∈π2,π,即C为锐角,
所以△ABC是锐角三角形.
10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,n∈N*,则a11=( )
A.36B.38C.40D.42
答案:D
解析:因为nan+1=(n+1)an+2,n∈N*,
所以在等式的两边同时除以n(n+1),
得an+1n+1-ann=21n-1n+1.
所以a1111=a11+2110-111+19-110+…+
1-12=4211.所以a11=42.故选D.
11.(2015陕西高考,10)设f(x)=ln x,0A.q=rp
C.p=rq
答案:C
解析:∵f(x)=ln x,
∴p=f(ab)=lnab=12(ln a+ln b)=r.
又∵0ab.
又∵y=ln x为递增函数,
∴lna+b2>lnab,即q>r,综上p=r12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列an的“差数列”,若a1=1,{an}的“差数列”的通项公式为3n,则数列{an}的通项公式an=( )
A.3n-1B.3n+1+2
C.3n-12D.3n+1-12
答案:C
解析:∵a1=1,an+1-an=3n,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=3n-1+3n-2+…+31+1
=1×(1-3n)1-3=3n-12.故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+1x-4,当x= 时,函数有最小值为 .
答案:5 6
解析:∵x>4,∴x-4>0.
∴y=x+1x-4=x-4+1x-4+4
≥2(x-4)·1x-4+4=6.
当且仅当x-4=1x-4即x=5时等号成立.
14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=3n-12n+3,则a8b8= .
答案:43
解析:2a82b8=a1+a15b1+b15=152(a1+a15)152(b1+b15)=S15T15=3×15-12×15+3=43.
15.设数列{an}满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,…),则a2 015= .
答案:8 057
解析:由an=an-1+an-2-an-3,得an+1=an+an-1-an-2,
两式作和得:an+1=2an-1-an-3,
即an+1+an-3=2an-1(n=4,5,…).
∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列.
∵a1=1,a3=9,
∴奇数项构成的等差数列的公差为8.
则a2 015=a1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.
16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,有下列结论:
①若A>B,则sin A>sin B;
②若c2③若a,b,c成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C);
④若a,b,c成等比数列,则cs B的最小值为12.
其中结论正确的是 .(填上全部正确结论的序号)
答案:①③④
解析:对于①,若A>B,则a>b,由正弦定理得sin A>sin B,命题①正确;
对于②,若c20,说明C为锐角,但A,B不一定为锐角,△ABC不一定是锐角三角形,命题②错误;
对于③,若a,b,c成等差数列,则a+c=2b,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B,即sin A+sin C=2sin(A+C),命题③正确;
对于④,若a,b,c成等比数列,则b2=ac,
则cs B=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac≥ac2ac=12,命题④正确.
三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)
17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,cs B=45.
(1)若b=3,求sin A的值;
(2)若△ABC的面积为12,求b的值.
解:(1)∵cs B=45,0∴sin B=1-cs2B=35.
由正弦定理可得:asinA=bsinB.
又a=4,b=3,∴sin A=asinBb=4×353=45.
(2)由面积公式,得S△ABC=12acsin B,
∴12ac×35=12,可解得c=10.
由余弦定理,b2=a2+c2-2accs B=52,解得b=213.
18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.
(1)求c的值;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,
因为a1,a2,a3成等比数列,
所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.
当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.
(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c,
所以an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2c.
又a1=2,c=2,故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).
当n=1时,上式也成立.
所以an=n2-n+2(n=1,2,…).
19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为3.
(1)求证:a,2,c成等比数列;
(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.
(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.
又△ABC的面积为3,∴12acsin 60°=3,即ac=4.
∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.
(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2accs 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,
∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.
∴△ABC的周长L=a+b+c≥2ac+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.
∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.
∴△ABC周长的最小值为6.
∵a=c,B=60°,
∴此时△ABC为等边三角形.
20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.
(1)当b=3时,
①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;
②求不等式f(x)<0的解集.
(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.
解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,
①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],
∴1,2是方程x2-3ax+2a2=0的两根.
∴1+2=3a,1×2=2a2,解得a=1.
②∵x2-3ax+2a2<0,
∴(x-a)(x-2a)<0.
∴当a>0时,此不等式的解集为(a,2a),
当a=0时,此不等式的解集为空集,
当a<0时,此不等式的解集为(2a,a).
(2)由题意f(2)=4-2ab+2a2>0在a∈[1,2]上恒成立,
即b又a+2a≥2a·2a=22,
当且仅当a=2a,即a=2时上式等号成立.
∴b<22,实数b的取值范围是(-∞,22).
21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.
问:甲、乙两车有无超速现象?
解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12,
即x2+10x-1 200=0,
解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去).
这表明甲车的车速为30 km/h.
甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,
即x2+10x-2 000>0,
解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去).
这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.
22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项an;
(2)求数列{n2an}的前n项和Tn;
(3)若存在n∈N*,使得an≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围.
解:(1)因为a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*),
所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n2an(n≥2).
两式相减得nan=n+12an+1-n2an,
所以(n+1)an+1nan=3(n≥2).
因此数列{nan}从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列,
所以nan=2·3n-2(n≥2).故an=1,n=1,2n·3n-2,n≥2.
(2)由(1)可知当n≥2时,n2an=2n·3n-2,
当n≥2时,Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,
∴3Tn=3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n·3n-1.
两式相减得Tn=12+n-12·3n-1(n≥2).
又∵T1=a1=1也满足上式,
∴Tn=12+n-12·3n-1.
(3)an≥(n+1)λ等价于λ≤ann+1,
由(1)可知当n≥2时,ann+1=2·3n-2n(n+1),
设f(n)=n(n+1)2·3n-2(n≥2,n∈N*),
则f(n+1)-f(n)=-(n+1)(n-1)3n-1<0,
∴1f(n+1)≥1f(n).
又1f(2)=13及a12=12,
∴所求实数λ的取值范围为λ≤13.
知识点
不等式的性
质及应用
与三角形面
积有关的问题
数列的有关
计算及性质
三角形中的
有关计算
等比数列
前n项和
线性
规划
等差数列
前n项和
基本
不等式
判断三角
形的形状
综合与
实际应用
相应题号
1
2
3,10
4
5,12
6
7,14,15
8,11,13
9
16,17,18,
19,20,21,22