高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试课后练习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试课后练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝eq \f(\r(5),2)b，A＝2B，则cs B等于( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(5),4) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(5),6)
答案 B
解析 由正弦定理得eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)，
∴a＝eq \f(\r(5),2)b可化为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(\r(5),2).
又A＝2B，∴eq \f(sin 2B,sin B)＝eq \f(\r(5),2)，∴cs B＝eq \f(\r(5),4).
2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC= ，则·eq \(AC,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)
答案 A
解析 由余弦定理得
cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(9＋4－10,12)＝eq \f(1,4).
∴·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs A＝3×2×eq \f(1,4)＝eq \f(3,2).
∴·eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2).
3．在△ABC中，已知a＝eq \r(5)，b＝eq \r(15)，A＝30°，则c等于( )
A．2eq \r(5) B.eq \r(5)
C．2eq \r(5)或eq \r(5) D．以上都不对
答案 C
解析 ∵a2＝b2＋c2－2bccs A，
∴5＝15＋c2－2eq \r(15)×c×eq \f(\r(3),2).
化简得：c2－3eq \r(5)c＋10＝0，即(c－2eq \r(5))(c－eq \r(5))＝0，
∴c＝2eq \r(5)或c＝eq \r(5).
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
答案 D
解析 A中，因eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
所以sin B＝eq \f(16×sin 30°,8)＝1，∴B＝90°，即只有一解；
B中，sin C＝eq \f(20sin 60°,18)＝eq \f(5\r(3),9)，
且c>b，∴C>B，故有两解；C中，
∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(25－4)＝eq \r(21)，
即有解，故A、B、C都不正确．
5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为eq \f(1,3)，则其外接圆的半径为( )
A.eq \f(9\r(2),2) B.eq \f(9\r(2),4)
C.eq \f(9\r(2),8) D．9eq \r(2)
答案 C
解析 设另一条边为x，
则x2＝22＋32－2×2×3×eq \f(1,3)，
∴x2＝9，∴x＝3.设cs θ＝eq \f(1,3)，则sin θ＝eq \f(2\r(2),3).
∴2R＝eq \f(3,sin θ)＝eq \f(3,\f(2\r(2),3))＝eq \f(9\r(2),4)，R＝eq \f(9\r(2),8).
6．在△ABC中，cs2 eq \f(A,2)＝eq \f(b＋c,2c)(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
答案 A
解析 由cs2eq \f(A,2)＝eq \f(b＋c,2c)⇒cs A＝eq \f(b,c)，
又cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
∴b2＋c2－a2＝2b2⇒a2＋b2＝c2，故选A.
7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，且A＝75°，则b等于( )
A．2 B.eq \r(6)－eq \r(2)
C．4－2eq \r(3) D．4＋2eq \r(3)
答案 A
解析 sin A＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
由a＝c知，C＝75°，B＝30°.sin B＝eq \f(1,2).
由正弦定理：eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝4.
∴b＝4sin B＝2.
8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq \r(6)，cs A＝eq \f(7,8)，则△ABC的面积S为( )
A.eq \f(\r(15),2) B.eq \r(15) C.eq \f(8\r(15),5) D．6eq \r(3)
答案 A
解析 由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.
∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A，
即6＝4c2＋c2－4c2·eq \f(7,8).
∴c＝2，从而b＝4.∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×4×eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))2)＝eq \f(\r(15),2).
9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )
A.eq \r(21) B.eq \r(106)
C.eq \r(69) D.eq \r(154)
答案 B
解析 设BC＝a，则BM＝MC＝eq \f(a,2).
在△ABM中，AB2＝BM 2＋AM 2－2BM·AM·cs∠AMB，
即72＝eq \f(1,4)a2＋42－2×eq \f(a,2)×4·cs∠AMB ①
在△ACM中，AC2＝AM 2＋CM 2－2AM·CM·cs∠AMC
即62＝42＋eq \f(1,4)a2＋2×4×eq \f(a,2)·cs∠AMB ②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋eq \f(1,2)a2，∴a＝eq \r(106).
10．若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs B,b)＝eq \f(cs C,c)，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
答案 C
解析 ∵eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs B,b)，∴acs B＝bsin A，
∴2Rsin Acs B＝2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0.
∴cs B＝sin B，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝eq \r(3)ac，则角B的值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
答案 D
解析 ∵(a2＋c2－b2)tan B＝eq \r(3)ac，
∴eq \f(a2＋c2－b2,2ac)·tan B＝eq \f(\r(3),2)，
即cs B·tan B＝sin B＝eq \f(\r(3),2).
∵012．△ABC中，A＝eq \f(π,3)，BC＝3，则△ABC的周长为( )
A．4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))＋3 B．4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))＋3
C．6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))＋3 D．6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))＋3
答案 D
解析 A＝eq \f(π,3)，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)＝2R，
由合分比定理知eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AB＋BC＋AC,sin A＋sin B＋sin C)，
即eq \f(3,\f(\r(3),2))＝eq \f(x,\f(\r(3),2)＋sin B＋sin C).
∴2eq \r(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋sin B＋sinA＋B))＝x，
即x＝3＋2eq \r(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin B＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))))
＝3＋2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin B＋sin Bcs\f(π,3)＋cs Bsin \f(π,3)))
＝3＋2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin B＋\f(1,2)sin B＋\f(\r(3),2)cs B))
＝3＋2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)sin B＋\f(\r(3),2)cs B))
＝3＋6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2) sin B＋\f(1,2)cs B))
＝3＋6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6))).
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．在△ABC中，eq \f(2a,sin A)－eq \f(b,sin B)－eq \f(c,sin C)＝________.
答案 0
14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝eq \r(3)ac，则角B
的值为________．
答案 eq \f(π,6)
解析 ∵a2＋c2－b2＝eq \r(3)ac，
∴cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(3)ac,2ac)＝eq \f(\r(3),2)，∴B＝eq \f(π,6).
15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝eq \r(3)，
A＋C＝2B，则sin C＝________.
答案 1
解析 在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B.
∴B＝eq \f(π,3).
由正弦定理知，sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(1,2).
又a∴A＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,2).
∴sin C＝1.
16．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．
答案 eq \f(3,2)≤a<3
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋a＋1>a＋2,a2＋a＋12－a＋22<0,\f(a2＋a＋12－a＋22,2aa＋1)≥－\f(1,2))).
解得eq \f(3,2)≤a<3.
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(10分)如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．
解 设我艇追上走私船所需时间为t小时，则
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知：
(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcs 120°，
∴t＝2.
答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．
18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cs A＝eq \f(4,5).
(1)求sin2 eq \f(B＋C,2)＋cs 2A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.
解 (1)sin2 eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝eq \f(1－csB＋C,2)＋cs 2A＝eq \f(1＋cs A,2)＋2cs2 A－1＝eq \f(59,50).
(2)∵cs A＝eq \f(4,5)，∴sin A＝eq \f(3,5).
由S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A，得3＝eq \f(1,2)×2c×eq \f(3,5)，解得c＝5.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，可得
a2＝4＋25－2×2×5×eq \f(4,5)＝13，∴a＝eq \r(13).
19．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
(1)求cs∠CBE的值；
(2)求AE.
解 (1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°.
∴cs∠CBE＝cs(45°－30°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
(2)在△ABE中，AB＝2，
由正弦定理得eq \f(AE,sin∠ABE)＝eq \f(AB,sin∠AEB)，
即eq \f(AE,sin45°－15°)＝eq \f(2,sin90°＋15°)，
故AE＝eq \f(2sin 30°,cs 15°)＝eq \f(2×\f(1,2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq \r(6)－eq \r(2).
20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
a＝2，cs B＝eq \f(3,5).
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
解 (1)∵cs B＝eq \f(3,5)>0，且0∴sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(4,5).
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(2×\f(4,5),4)＝eq \f(2,5).
(2)∵S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝4，∴eq \f(1,2)×2×c×eq \f(4,5)＝4，
∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝22＋52－2×2×5×eq \f(3,5)＝17，∴b＝eq \r(17).
21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解 (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，
故cs A＝－eq \f(1,2)，A＝120°.
(2)方法一 由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝eq \f(3,4)，
∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.
∴sin2B＋(1－sin B)2＋sin B(1－sin B)＝eq \f(3,4)，
即sin2B－sin B＋eq \f(1,4)＝0.
解得sin B＝eq \f(1,2).故sin C＝eq \f(1,2).
∴B＝C＝30°.
所以，△ABC是等腰的钝角三角形．
方法二 由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°，
则C＝60°－B，
∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)
＝sin B＋eq \f(\r(3),2)cs B－eq \f(1,2)sin B
＝eq \f(1,2)sin B＋eq \f(\r(3),2)cs B
＝sin(B＋60°)
＝1，
∴B＝30°，C＝30°.
∴△ABC是等腰的钝角三角形．
22．(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，
n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝eq \f(π,3)，求△ABC的面积．
(1)证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
即a·eq \f(a,2R)＝b·eq \f(b,2R)，
其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解 由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×4×sineq \f(π,3)＝eq \r(3).