人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试复习练习题

这是一份人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试复习练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若A＋C＝2B，有a＝1，b＝eq \r(3)，则S△ABC等于( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3),2) D．2
答案 C
解析 由A＋C＝2B，解得B＝eq \f(π,3).由余弦定理得(eq \r(3))2＝1＋c2－2ccs eq \f(π,3)，解得c＝2或c＝－1(舍去)．于是，S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×1×2sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
2．在△ABC中，sin A＝eq \f(3,4)，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)，＋∞)) B．(10，＋∞) C．(0,10) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(40,3)))
答案 D
解析 ∵eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(40,3)，∴c＝eq \f(40,3)sin C．∴03．在△ABC中，若a＝eq \f(\r(5),2)b，A＝2B，则cs B等于( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(5),4) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(5),6)
答案 B
解析 由正弦定理得eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)，∴a＝eq \f(\r(5),2)b可化为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(\r(5),2).
又A＝2B，∴eq \f(sin 2B,sin B)＝eq \f(\r(5),2)，∴cs B＝eq \f(\r(5),4).
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C＝120°，c＝eq \r(2)a，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
答案 A
解析 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C，
又C＝120°，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2＝b2＋ab＞b2，∴a＞b，故选A.
5．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0) C．(－eq \f(1,2)，0) D．(eq \f(1,2)，＋∞)
答案 D
解析 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b>c,a＋c>b))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2k＋1>2mk,3mk>mk＋1))，∴k>eq \f(1,2).
6．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为eq \f(1,3)，则其外接圆的半径为( )
A.eq \f(9\r(2),2) B.eq \f(9\r(2),4) C.eq \f(9\r(2),8) D．9eq \r(2)
答案 C
解析 设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×eq \f(1,3)，
∴x2＝9，∴x＝3.设cs θ＝eq \f(1,3)，则sin θ＝eq \f(2\r(2),3).
∴2R＝eq \f(3,sin θ)＝eq \f(3,\f(2\r(2),3))＝eq \f(9\r(2),4)，R＝eq \f(9\r(2),8).
7．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
答案 B
解析 ∵sin A＝sin C且A、C是三角形内角，
∴A＝C或A＋C＝π(舍去)．
∴△ABC是等腰三角形．
8．在锐角△ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，则AC的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[0,2] C．(0,2] D．(eq \r(2)，eq \r(3))
答案 D
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜π－3∠A＜\f(π,2)，,0＜2∠A＜\f(π,2)))⇒eq \f(π,6)＜∠A＜eq \f(π,4)，
由正弦定理eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)得AC＝2cs A.
∵∠A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))，∴AC∈(eq \r(2)，eq \r(3))．
9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
答案 D
解析 A中，因eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
所以sin B＝eq \f(16×sin 30°,8)＝1，∴B＝90°，即只有一解；
B中，sin C＝eq \f(20sin 60°,18)＝eq \f(5\r(3),9)，且c>b，
∴C>B，故有两解；
C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(25－4)＝eq \r(21)，即有解；
故A、B、C都不正确．用排除法应选D.
10．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )
A.eq \r(21) B.eq \r(106) C.eq \r(69) D.eq \r(154)
答案 B
解析 设BC＝a，则BM＝MC＝eq \f(a,2).
在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cs∠AMB，
即72＝eq \f(1,4)a2＋42－2×eq \f(a,2)×4·cs∠AMB①
在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cs∠AMC
即62＝42＋eq \f(1,4)a2＋2×4×eq \f(a,2)·cs∠AMB②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋eq \f(1,2)a2，∴a＝eq \r(106).
二、填空题
11．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cs C的大小是________．
答案 eq \f(1,3)
解析 由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－eq \f(2,3)ab.
根据余弦定理，得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
＝eq \f(a2＋b2－a2－b2＋\f(2,3)ab,2ab)＝eq \f(1,3)，所以cs C＝eq \f(1,3).
12．在△ABC中，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
答案 eq \f(2π,3)
解析 由已知3sin A＝5sin B，利用正弦定理可得3a＝5b.
由3a＝5b，b＋c＝2a，利用余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq \f(1,2).C∈(0，π)，C＝eq \f(2,3)π.
13．在△ABC中，已知cs A＝eq \f(3,5)，cs B＝eq \f(5,13)，b＝3，则c＝________.
答案 eq \f(14,5)
解析 在△ABC中，∵cs A＝eq \f(3,5)>0，∴sin A＝eq \f(4,5).
∵cs B＝eq \f(5,13)>0，∴sin B＝eq \f(12,13).
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acs B＋cs Asin B＝eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＋eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＝eq \f(56,65).
由正弦定理知eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，∴c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(3×\f(56,65),\f(12,13))＝eq \f(14,5).
14．太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.
答案 eq \f(\r(3),6)
解析 如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，
∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，
AB＝1 (km)．
由正弦定理得
eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AB,sin∠ACB)，
∴BC＝eq \f(1,sin 60°)·sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),2\r(3)) (km)．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·sin 75°＝eq \f(\r(6)－\r(2),2\r(3))·eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(\r(3),6) (km)．
三、解答题
15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cs B＝eq \f(3,5).
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
解 (1)∵cs B＝eq \f(3,5)>0，且0∴sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(4,5).
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(2×\f(4,5),4)＝eq \f(2,5).
(2)∵S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝4，∴eq \f(1,2)×2×c×eq \f(4,5)＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝22＋52－2×2×5×eq \f(3,5)＝17，∴b＝eq \r(17).
16.如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．
解 设我艇追上走私船所需时间为t小时，则
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知
(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcs 120°，
∴t＝2(t＝－eq \f(3,4)舍去)．
答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时．
17．在△ABC中，a＝3，b＝2eq \r(6)，∠B＝2∠A.
(1)求cs A的值；
(2)求c的值．
解 (1)因为a＝3，b＝2eq \r(6)，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得eq \f(3,sin A)＝eq \f(2\r(6),sin 2A).
所以eq \f(2sin Acs A,sin A)＝eq \f(2\r(6),3).故cs A＝eq \f(\r(6),3).
(2)由(1)知cs A＝eq \f(\r(6),3)，所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(3),3).
又因为∠B＝2∠A，所以cs B＝2cs2A－1＝eq \f(1,3).所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(2\r(2),3).
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acs B＋cs Asin B＝eq \f(5\r(3),9).所以c＝eq \f(asin C,sin A)＝5.
18．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝eq \f(π,3)，求△ABC的面积．
(1)证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
即a·eq \f(a,2R)＝b·eq \f(b,2R)，
其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解 由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×4×sineq \f(π,3)＝eq \r(3).