高中数学第一章 解三角形综合与测试精练

这是一份高中数学第一章 解三角形综合与测试精练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在△ABC中，a＝2，b＝eq \r(3)，c＝1，则最小角为( )
A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)
2．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝
(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
3.在△ABC中，已知||＝4，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，S△ABC＝eq \r(3)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( )
A．－2 B．2
C．±4 D．±2
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝eq \r(2)，b＝eq \r(6)，B＝120°，则a等于( )
A.eq \r(6) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则eq \f(sin B,sin C)的值为( )
A.eq \f(8,5) B.eq \f(5,8) C.eq \f(5,3) D.eq \f(3,5)
6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是( )
A．1C．17．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cs B等于( )
A．－eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(\r(6),3) D.eq \f(\r(6),3)
8．下列判断中正确的是( )
A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解
9．在△ABC中，B＝30°，AB＝eq \r(3)，AC＝1，则△ABC的面积是( )
A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \r(3)或eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),4)
10．在△ABC中，BC＝2，B＝eq \f(π,3)，若△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则tan C为( )
A.eq \r(3) B．1 C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
11．在△ABC中，如果sin Asin B＋sin Acs B＋cs Asin B＋cs Acs B＝2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是( )
A．60° B．45°或135°
C．120° D．30°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs B,b)，则B＝________.
14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．
15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(eq \r(3)b－c)cs A＝acs C，则cs A＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.
18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsin A.
(1)求B的大小．
(2)若a＝3eq \r(3)，c＝5，求b.
19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
20．(12分)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．
21．(12分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝eq \f(π,3).
(1)若△ABC的面积等于eq \r(3)，求a，b.
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
22．(12分) 如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．
第一章 解三角形 章末检测 答案 (B)
1．B [∵a>b>c，∴C最小．
∵cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(22＋\r(3)2－12,2×2×\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
又∵02．B [∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0.
∴c2＝a2＋b2－ab，∵c2＝a2＋b2－2abcs C，
∴cs C＝eq \f(1,2)，又∵0∴||·|eq \(AC,\s\up6(→))|·sin A
＝eq \f(1,2)×4×1×sin A＝eq \r(3).
∴sin A＝eq \f(\r(3),2).又∵0°∴A＝60°或120°.
·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs A
＝4×1×cs A＝±2.]
4．D [由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin C＝eq \f(c·sin B,b)＝eq \f(\r(2)sin 120°,\r(6))＝eq \f(1,2)，
∵c∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°.
∴a＝c＝eq \r(2).]
5．D [由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs A，
即72＝52＋AC2－10AC·cs 120°，
∴AC＝3.由正弦定理得eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5).]
6．D [由题意，x应满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22＋42－x2>0,22＋x2－42>0))
解得：2eq \r(3)7．D [由正弦定理得eq \f(15,sin 60°)＝eq \f(10,sin B).
∴sin B＝eq \f(10·sin 60°,15)＝eq \f(\r(3),3).
∵a>b，A＝60°，∴B<60°.
∴cs B＝eq \r(1－sin2B)＝eq \r(1－\f(\r(3),3)2)＝eq \f(\r(6),3).]
8．B [A：a＝bsin A，有一解；
B：A>90°，a>b，有一解；
C：aD：c>b>csin B，有两解．]
9．D [由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs B，
∴12＝(eq \r(3))2＋BC2－2×eq \r(3)×BC×eq \f(\r(3),2).
整理得：BC2－3BC＋2＝0.
∴BC＝1或2.
当BC＝1时，S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BCsin B＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),4).
当BC＝2时，S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BCsin B＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×2×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),2).]
10．C [由S△ABC＝eq \f(1,2)BC·BAsin B＝eq \f(\r(3),2)得BA＝1，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs B，
∴AC＝eq \r(3)，∴△ABC为直角三角形，
其中A为直角，
∴tan C＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(\r(3),3).]
11．C [由已知，得cs(A－B)＋sin(A＋B)＝2，
又|cs(A－B)|≤1，|sin(A＋B)|≤1，
故cs(A－B)＝1且sin(A＋B)＝1，
即A＝B且A＋B＝90°，故选C.]
12．B [由a4＋b4＋c4＝2c2a2＋2b2c2，
得cs2C＝eq \f(a2＋b2－c22,2ab2)
＝eq \f(a4＋b4＋c4＋2a2b2－2c2a2－2b2c2,4a2b2)＝eq \f(1,2)
⇒cs C＝±eq \f(\r(2),2).∴角C为45°或135°.]
13．45°
解析 由正弦定理，eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b).
∴eq \f(sin B,b)＝eq \f(cs B,b).∴sin B＝cs B.
∴B＝45°.
14．10eq \r(3)
解析 设AC＝x，则由余弦定理得：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A，
∴49＝25＋x2－5x，∴x2－5x－24＝0.
∴x＝8或x＝－3(舍去)．
∴S△ABC＝eq \f(1,2)×5×8×sin 60°＝10eq \r(3).
15．8eq \r(6)
解析 如图所示，
在△PMN中，eq \f(PM,sin 45°)＝eq \f(MN,sin 120°)，
∴MN＝eq \f(64×\r(3),\r(2))＝32eq \r(6)，
∴v＝eq \f(MN,4)＝8eq \r(6)(海里/小时)．
16.eq \f(\r(3),3)
解析 由(eq \r(3)b－c)cs A＝acs C，得(eq \r(3)b－c)·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
即eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),3)，
由余弦定理得cs A＝eq \f(\r(3),3).
17．解 在△ACD中，∠DAC＝α－β，
由正弦定理，得eq \f(AC,sin β)＝eq \f(DC,sinα－β)，
∴AC＝eq \f(asin β,sinα－β)
∴AB＝AE＋EB＝ACsin α＋h＝eq \f(asin βsin α,sinα－β)＋h.
18．解 (1)∵a＝2bsin A，∴sin A＝2sin B·sin A，
∴sin B＝eq \f(1,2).∵0(2)∵a＝3eq \r(3)，c＝5，B＝30°.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B
＝(3eq \r(3))2＋52－2×3eq \r(3)×5×cs 30°＝7.
∴b＝eq \r(7).
19．解 (1)在△POC中，由余弦定理，
得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cs θ
＝5－4cs θ，
所以y＝S△OPC＋S△PCD
＝eq \f(1,2)×1×2sin θ＋eq \f(\r(3),4)×(5－4cs θ)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＋eq \f(5\r(3),4).
(2)当θ－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(5π,6)时，ymax＝2＋eq \f(5\r(3),4).
答 四边形OPDC面积的最大值为2＋eq \f(5\r(3),4).
20．解 ①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．
②第一步：计算AM，由正弦定理AM＝eq \f(dsin α2,sinα1＋α2)；
第二步：计算AN.由正弦定理AN＝eq \f(dsin β2,sinβ2－β1)；
第三步：计算MN，由余弦定理
MN＝eq \r(AM2＋AN2－2AM×ANcsα1－β1).
21．解 (1)由余弦定理及已知条件得
a2＋b2－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于eq \r(3)，
所以eq \f(1,2)absin C＝eq \r(3)，由此得ab＝4.
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2.))
(2)由正弦定理及已知条件得b＝2a.
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2－ab＝4，,b＝2a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2\r(3),3)，,b＝\f(4\r(3),3).))
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(2\r(3),3).
22．解 ∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，
∠OCP＝120°.
在△POC中，由正弦定理得eq \f(OP,sin∠PCO)＝eq \f(CP,sin θ)，
∴eq \f(2,sin 120°)＝eq \f(CP,sin θ)，∴CP＝eq \f(4,\r(3))sin θ.
又eq \f(OC,sin60°－θ)＝eq \f(2,sin 120°)，∴OC＝eq \f(4,\r(3))sin(60°－θ)．
因此△POC的面积为
S(θ)＝eq \f(1,2)CP·OCsin 120°
＝eq \f(1,2)·eq \f(4,\r(3))sin θ·eq \f(4,\r(3))sin(60°－θ)×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(4,\r(3))sin θsin(60°－θ)
＝eq \f(4,\r(3))sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs θ－\f(1,2)sin θ))
＝2sin θ·cs θ－eq \f(2,\r(3))sin2θ
＝sin 2θ＋eq \f(\r(3),3)cs 2θ－eq \f(\r(3),3)
＝eq \f(2\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,6)))－eq \f(\r(3),3)
∴θ＝eq \f(π,6)时，S(θ)取得最大值为eq \f(\r(3),3).
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案