数学人教版新课标A第一章 解三角形综合与测试同步练习题

这是一份数学人教版新课标A第一章 解三角形综合与测试同步练习题，共4页。

1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
一、选择题
1．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
答案 C
解析 sin B＝b·eq \f(sin A,a)＝eq \f(\r(2),2)，且b2．在△ABC中，已知cs Acs B>sin Asin B，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 C
解析 cs Acs B>sin Asin B⇔cs(A＋B)>0，
∴A＋B<90°，∴C>90°，C为钝角．
3．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
答案 D
解析 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，
c＝2mk(m>0)，
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b>c,a＋c>b)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2k＋1>2mk,3mk>mk＋1))，∴k>eq \f(1,2).
4．如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(β<α)．则A点离地面的高AB等于( )
A.eq \f(asin αsin β,sinα－β) B.eq \f(asin αsin β,csα－β)
C.eq \f(asin αcs β,sinα－β) D.eq \f(acs αcs β,csα－β)
答案 A
解析 设AB＝h，则AD＝eq \f(h,sin α)，
在△ACD中，∵∠CAD＝α－β，∴eq \f(CD,sinα－β)＝eq \f(AD,sin β).
∴eq \f(a,sinα－β)＝eq \f(h,sin αsin β)，∴h＝eq \f(asin αsin β,sinα－β).
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为220eq \r(3)，那么BC的长度为( )
A．25 B．51 C．49eq \r(3) D．49
答案 D
解析 S△ABC＝eq \f(1,2)AC·AB·sin 60°＝eq \f(1,2)×16×AB×eq \f(\r(3),2)＝220eq \r(3)，∴AB＝55.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 60°＝552＋162－2×16×55×eq \f(1,2)＝2 401.
∴BC＝49.
6．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝eq \r(3)bc，
sin C＝2eq \r(3)sin B，则A等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 A
解析 由sin C＝2eq \r(3)sin B，根据正弦定理，得
c＝2eq \r(3)b，把它代入a2－b2＝eq \r(3)bc得
a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋12b2－7b2,2b·2\r(3)b)
＝eq \f(6b2,4\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2).
又∵0°二、填空题
7．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.
答案 6
解析 由5x2－7x－6＝0，解得x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2.
∵x2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cs θ＝－eq \f(3,5)，
得sin θ＝eq \f(4,5)，∴S＝eq \f(1,2)×3×5×eq \f(4,5)＝6 (cm2)．
8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq \r(3)，则eq \f(a,sin A)＝____________.
答案 eq \f(2\r(39),3)
解析 由S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×1×c×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，∴c＝4.
∴a＝eq \r(b2＋c2－2bccs A)＝eq \r(12＋42－2×1×4cs 60°)
＝eq \r(13).
∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(13),sin 60°)＝eq \f(2\r(39),3).
9．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是
______________．
答案 2解析 因为三角形有两解，所以asin B即eq \f(\r(2),2)x<210．一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1 h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于________km.
答案 20eq \r(2)
解析 如图所示，eq \f(BC,sin 45°)＝eq \f(AC,sin 30°)
∴BC＝eq \f(AC,sin 30°)×sin 45°＝eq \f(20,\f(1,2))×eq \f(\r(2),2)
＝20eq \r(2) (km)．
三、解答题
11．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcs C，试确定△ABC的形状．
解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，
即a2＝b2＋c2－bc，∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)，
∴A＝eq \f(π,3).
又sin A＝2sin Bcs C．∴a＝2b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－c2,a)，
∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．
12．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．
(1)求最大角的余弦值；
(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
解 (1)设这三个数为n，n＋1，n＋2，最大角为θ，
则cs θ＝eq \f(n2＋n＋12－n＋22,2·n·n＋1)<0，
化简得：n2－2n－3<0⇒－1∵n∈N*且n＋(n＋1)>n＋2，∴n＝2.
∴cs θ＝eq \f(4＋9－16,2×2×3)＝－eq \f(1,4).
(2)设此平行四边形的一边长为a，则夹θ角的另一边长为4－a，平行四边形的面积为：
S＝a(4－a)·sin θ＝eq \f(\r(15),4)(4a－a2)＝eq \f(\r(15),4)[－(a－2)2＋4]≤eq \r(15).
当且仅当a＝2时，Smax＝eq \r(15).
能力提升
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs 2C＝－eq \f(1,4).
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
解 (1)∵cs 2C＝1－2sin2C＝－eq \f(1,4)，0∴sin C＝eq \f(\r(10),4).
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
得c＝4.
由cs 2C＝2cs2C－1＝－eq \f(1,4)及0得cs C＝±eq \f(\r(6),4).
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C，
得b2±eq \r(6)b－12＝0(b>0)，
解得b＝eq \r(6)或2eq \r(6)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\r(6)，,c＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝2\r(6)，,c＝4.))
14．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
解 设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs∠ADB，
即142＝x2＋102－20xcs 60°，
∴x2－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6舍去)，
即BD＝16.
在△BCD中，由正弦定理eq \f(BC,sin∠CDB)＝eq \f(BD,sin∠BCD)，
∴BC＝eq \f(16sin 30°,sin 135°)＝8eq \r(2).
1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程．
2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．