人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和课后测评

这是一份人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和课后测评，共4页。

1．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．
2．能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)；当q＝1时，Sn＝na1.
2．等比数列前n项和的性质：
(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数)
(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．
(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则eq \f(S偶,S奇)＝q.
3．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．
一、选择题

1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )
A．33 B．72 C．84 D．189
答案 C
解析 由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.
2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )
A．1.14a B．1.15a C．10a(1.15－1) D．11a(1.15－1)
答案 D
解析 注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{eq \f(1,an)}的前5项和为( )
A.eq \f(15,8)或5 B.eq \f(31,16)或5 C.eq \f(31,16) D.eq \f(15,8)
答案 C
解析 若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，
则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得9×eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(a11－q6,1－q)，
解得q＝2.
故an＝a1qn－1＝2n－1，
eq \f(1,an)＝(eq \f(1,2))n－1.
所以数列{eq \f(1,an)}是以1为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列，其前5项和为
S5＝eq \f(1×[1－\f(1,2)5],1－\f(1,2))＝eq \f(31,16).
4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A．300米 B．299米 C．199米 D．166米
答案 A
解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8＝299eq \f(39,64)≈300(米)．
5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于( )
A．90 B．70 C．40 D．30
答案 C
解析 q≠1 (否则S30＝3S10)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S30＝13S10,S10＋S30＝140))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S10＝10,S30＝130))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q10,1－q)＝10,\f(a11－q30,1－q)＝130))，∴q20＋q10－12＝0.
∴q10＝3，∴S20＝eq \f(a11－q20,1－q)＝S10(1＋q10)
＝10×(1＋3)＝40.
6．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A.eq \f(a1＋γ,1＋γ5－1)万元 B.eq \f(aγ1＋γ5,1＋γ5－1)万元
C.eq \f(aγ1＋γ5,1＋γ4－1)万元 D.eq \f(aγ,1＋γ5)万元
答案 B
解析 设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，
∴x＝eq \f(aγ1＋γ5,1＋γ5－1).
二、填空题
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．
∴a2＝3a3，
∴{an}的公比q＝eq \f(a3,a2)＝eq \f(1,3).
8．在等比数列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝
________________________________________________________________________.
答案 63
解析 方法一 ∵S8≠2S4，∴q≠1，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q4,1－q)＝48 ①,\f(a11－q8,1－q)＝60 ②))
由②÷①得
1＋q4＝eq \f(5,4)，∴q4＝eq \f(1,4) ③
将③代入①得eq \f(a1,1－q)＝64，
∴S12＝eq \f(a11－q12,1－q)＝64(1－eq \f(1,43))＝63.
方法二 因为{an}为等比数列，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以S3n＝eq \f(S2n－Sn2,Sn)＋S2n，
所以S12＝eq \f(S8－S42,S4)＋S8＝eq \f(60－482,48)＋60＝63.
9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．
答案 729
解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝3，q＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝36＝729(只)．
10．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．
答案 (1＋q)12－1
解析 设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂第一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.
则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，
第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，
∴该厂生产总值的平均增长率为eq \f(S2－S1,S1)＝eq \f(S2,S1)－1＝(1＋q)12－1.
三、解答题
11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)
参考数据：0.910≈0.35.
解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1 (n≥1)．
(2)10年的出口总量S10＝eq \f(a1－0.910,1－0.9)＝10a(1－0.910)．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，
即a≤eq \f(8,1－0.910)，∴a≤12.3.
故2010年最多出口12.3吨．
12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的eq \f(1,3)？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)
解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7＝a1·q6＝128×1.56＝1 458(辆)．
(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
依据题意，得eq \f(Sn,10 000＋Sn)>eq \f(1,3)，
于是Sn＝eq \f(1281－1.5n,1－1.5)>5 000(辆)，即1.5n>eq \f(657,32).
两边取常用对数，则n·lg 1.5>lg eq \f(657,32)，
即n>eq \f(lg 657－5lg 2,lg 3－lg 2)≈7.3，又n∈N＋，因此n≥8.
所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的eq \f(1,3).
能力提升
13．有纯酒精a L(a>1)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,a)))
解析 用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为eq \f(a－1,a)＝1－eq \f(1,a)，a2＝1－eq \f(1,a)，加水后浓度为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1,a)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))2，a3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))2，
依次类推：a9＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))8，a10＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))9.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))8＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))9＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,a))).
14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为
1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝eq \f(1.310－1,1.3－1)≈42.63(万元)，
到期时银行贷款的本息为
10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为
42．63－25.94≈16.7(万元)．
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，
1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)
＝eq \f(101＋5.5,2)
＝32.50(万元)，
而贷款本利和为
1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]
＝1.1×eq \f(1.110－1,1.1－1)
≈17.53(万元)．
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为
32．50－17.53≈15.0(万元)，
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．
1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．
2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．