高中数学人教版新课标A必修5第三章不等式3.1 不等关系与不等式随堂练习题

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这是一份高中数学人教版新课标A必修5第三章不等式3.1 不等关系与不等式随堂练习题，共5页。试卷主要包含了1　不等关系与不等式等内容，欢迎下载使用。

课时目标
1．初步学会作差法比较两实数的大小．
2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
1．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a(2)符号表示
a－b>0⇔a>b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b<0⇔a2．常用的不等式的基本性质
(1)a>b⇔b(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；
(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b).

一、选择题
1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.eq \f(1,a)b2
C.eq \f(a,c2＋1)>eq \f(b,c2＋1) D．a|c|>b|c|
答案 C
解析对A，若a>0>b，则eq \f(1,a)>0，eq \f(1,b)<0，此时eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2对C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴eq \f(a,c2＋1)>eq \f(b,c2＋1)恒成立，
∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．
2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>eq \f(a,b)>eq \f(a,b2) B.eq \f(a,b2)>eq \f(a,b)>a
C.eq \f(a,b)>a>eq \f(a,b2) D.eq \f(a,b)>eq \f(a,b2)>a
答案 D
解析取a＝－2，b＝－2，则eq \f(a,b)＝1，eq \f(a,b2)＝－eq \f(1,2)，
∴eq \f(a,b)>eq \f(a,b2)>a.
3．已知a、b为非零实数，且aA．a2C.eq \f(1,ab2)答案 C
解析对于A，当a<0，b<0时，a2对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于C，∵a0，∴eq \f(1,ab2)对于D，当a＝－1，b＝1时，eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)＝－1.
4．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则( )
A．aC．b答案 C
解析 ∵eq \f(1,e)令t＝ln x，则－1∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－1∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b.
5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0 D．b＋a>0
答案 D
解析由a>|b|得－a∴a＋b>0，且a－b>0.∴b－a<0，A错，D对．
可取特值，如a＝2，b＝－1，
a3＋b3＝7>0，故B错．
而a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，∴C错．
6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
答案 A
解析由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.
二、填空题
7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
答案 [－1,6]
解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
答案 f(x)>g(x)
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
∴f(x)>g(x)．
9．若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为________．
答案 eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2)
解析 ∵eq \f(x,1＋x2)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq \f(－x－12,21＋x2)≤0，
∴eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2).
10．设n>1，n∈N，A＝eq \r(n)－eq \r(n－1)，B＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)，则A与B的大小关系为________．
答案 A>B
解析 A＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n－1))，B＝eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n)).
∵eq \r(n)＋eq \r(n－1)B.
三、解答题
11．设a>b>0，试比较eq \f(a2－b2,a2＋b2)与eq \f(a－b,a＋b)的大小．
解方法一作差法
eq \f(a2－b2,a2＋b2)－eq \f(a－b,a＋b)＝eq \f(a＋ba2－b2－a－ba2＋b2,a2＋b2a＋b)
＝eq \f(a－b[a＋b2－a2＋b2],a2＋b2a＋b)＝eq \f(2aba－b,a＋ba2＋b2)
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴eq \f(2aba－b,a＋ba2＋b2)>0，∴eq \f(a2－b2,a2＋b2)>eq \f(a－b,a＋b).
方法二作商法
∵a>b>0，∴eq \f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq \f(a－b,a＋b)>0.
∴eq \f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝eq \f(a＋b2,a2＋b2)＝eq \f(a2＋b2＋2ab,a2＋b2)＝1＋eq \f(2ab,a2＋b2)>1.
∴eq \f(a2－b2,a2＋b2)>eq \f(a－b,a＋b).
12．设f(x)＝1＋lgx3，g(x)＝2lgx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
解 f(x)－g(x)＝1＋lgx3－2lgx2＝lgxeq \f(3x,4)，
①当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x＜1，,\f(3x,4)＞1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞1，,0＜\f(3x,4)＜1，))
即1＜x＜eq \f(4,3)时，lgxeq \f(3x,4)＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当eq \f(3x,4)＝1，即x＝eq \f(4,3)时，lgxeq \f(3x,4)＝0，即f(x)＝g(x)；
③当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x＜1，,0＜\f(3x,4)＜1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞1，,\f(3x,4)＞1，))
即0＜x＜1，或x＞eq \f(4,3)时，lgxeq \f(3x,4)＞0，即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜eq \f(4,3)时，f(x)＜g(x)；
当x＝eq \f(4,3)时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞eq \f(4,3)时，f(x)＞g(x)．
能力提升
13．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.eq \f(1,2)
答案 A
解析方法一特殊值法．
令a1＝eq \f(1,4)，a2＝eq \f(3,4)，b1＝eq \f(1,4)，b2＝eq \f(3,4)，
则a1b1＋a2b2＝eq \f(10,16)＝eq \f(5,8)，a1a2＋b1b2＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)，
a1b2＋a2b1＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)，
∵eq \f(5,8)>eq \f(1,2)>eq \f(3,8)，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
方法二作差法．
∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，
∴0又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，
a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－aeq \\al(2,1)－beq \\al(2,1)，
a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，
∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1)－2a1b1
＝(a1－b1)2≥0，
∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1
＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)
＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b1－\f(1,2)))>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
∵(a1b1＋a2b2)－eq \f(1,2)＝2a1b1＋eq \f(1,2)－a1－b1
＝b1(2a1－1)－eq \f(1,2)(2a1－1)＝(2a1－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b1－\f(1,2)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b1－\f(1,2)))>0，
∴a1b1＋a2b2>eq \f(1,2).
综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.
14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)且z＝1时取到等号．
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．

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