高中数学3.2 一元二次不等式及其解法同步练习题

这是一份高中数学3.2 一元二次不等式及其解法同步练习题，共4页。试卷主要包含了会解简单的一元二次不等式，在R上定义运算⊙等内容，欢迎下载使用。

1．会解简单的一元二次不等式．
2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b (a≠0)的形式．
(1)若a>0，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x>\f(b,a)))；
(2)若a<0，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<\f(b,a))).
2．一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：
(1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0 (a>0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：
一、选择题
1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(2,3)≤x≤\f(1,2)))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥\f(1,2)))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≤－\f(3,2)))
答案 B
解析 ∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，
∴x≥eq \f(1,2)或x≤－eq \f(2,3).
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1答案 D
解析 由题意知，－eq \f(b,a)＝1，eq \f(c,a)＝－2，
∴b＝－a，c＝－2a，
又∵a<0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.
3．函数y＝lg(x2－4)＋eq \r(x2＋6x)的定义域是( )
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
答案 B
解析 ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4>0，,x2＋6x≥0，))∴x≤－6或x>2.
4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
答案 B
解析 ∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，
∴x2＋x－2<0.∴－25．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,2]
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)
答案 B
解析 ∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，
∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.
当m＝2时，4>0，x∈R；
当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，
解得－2综上所述，－26．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6， x<0，))则不等式f(x)>f(1)的解是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
答案 A
解析 f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)．
二、填空题
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应点如下表：
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是______________．
答案 {x|x<－2或x>3}
8．不等式－1答案 {x|－3≤x<－2或0解析 ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3≤0，,x2＋2x>0，))
∴－3≤x<－2或09．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．
答案 k≤2或k≥4
解析 x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
10．不等式(x2－x＋1)(x2－x－1)>0的解集是________________．
答案 {x|xeq \f(1＋\r(5),2)}
解析 ∵x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
∴(x2－x－1)(x2－x＋1)>0可转化为
解不等式x2－x－1>0，由求根公式知，
x1＝eq \f(1－\r(5),2)，x2＝eq \f(1＋\r(5),2).
∴x2－x－1>0的解集是
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<\f(1－\r(5),2)或x>\f(1＋\r(5),2))).
∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<\f(1－\r(5),2)或x>\f(1＋\r(5),2))).
三、解答题
11．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(1,3)≤x≤2))，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(1,3)≤x≤2))，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－eq \f(1,3)，2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)＋2＝－\f(b,a),－\f(1,3)×2＝\f(c,a)))，∴b＝－eq \f(5,3)a，c＝－eq \f(2,3)a.
所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a))x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)a))x＋a<0，
即2ax2－5ax－3a>0.
又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，
所以所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(1,2)12．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解 将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为
(x－a)(x－a2)>0.
∵a2－a＝a(a－1)．
∴当a<0或a>1时，aa2}．
当0a}．
当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．
综上知，当a<0或a>1时，不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．
【能力提升】
13．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a1))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,a1))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,a3)))
答案 B
解析 由(1－aix)2<1，
得1－2aix＋(aix)2<1，
即ai·x(aix－2)<0.
又a1>a2>a3>0.
∴0即x∵eq \f(2,a3)>eq \f(2,a2)>eq \f(2,a1)>0
∴014．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
当a＝0时，x≤－1；
当a>0时，x≥eq \f(2,a)或x≤－1；
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤eq \f(2,a).
综上所述，
当a>0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥\f(2,a)或x≤－1))；
当a＝0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≤－1))；
当－2当a＝－2时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝－1))；
当a<－2时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤\f(2,a))).
1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．
2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．
3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c
＝0(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
(－∞，x1)∪(x2，＋∞)
{x|x∈R且x≠－eq \f(b,2a)}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1∅
∅
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6