高中数学人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性同步练习题

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课时目标
1．了解二元一次不等式表示的平面区域．
2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
1．二元一次不等式(组)的概念
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
2．二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
一、选择题

1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥－2,3x－2y＋6>0,x<0)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥－2,3x－2y＋6≥0,x≤0))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y>－2,3x－2y＋6>0,x≤0)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y>－2,3x－2y＋6<0,x<0))
答案 C
解析 可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．
2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－1,6) B．(－6,1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－13．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )
答案 B
解析 不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组
(Ⅰ)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y>0，,x＋2y－2>0))
或不等式组(Ⅱ)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y<0，,x＋2y－2<0.))分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.
4．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋3y≤12，,x－y>－1，,y≥0))表示的平面区域内整点的个数是( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
答案 C
解析 画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．
5．在平面直角坐标系中，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥0，,x－y＋4≥0，,x≤a))(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( )
A．3eq \r(2)＋2 B．－3eq \r(2)＋2
C．－5 D．1
答案 D
解析 区域如图，
易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，
C(a，－a)．
S△ABC＝eq \f(1,2)|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得a＝1.
6．若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域被直线y＝kx＋eq \f(4,3)分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A.eq \f(7,3) B.eq \f(3,7) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,4)
答案 A
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx＋eq \f(4,3)过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3))).因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋eq \f(4,3)能平分平面区域．
因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))).
当y＝kx＋eq \f(4,3)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2)))时，eq \f(5,2)＝eq \f(k,2)＋eq \f(4,3)，
所以k＝eq \f(7,3).
二、填空题
7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－1≥0,x－y＋2≥0,2x＋y－5≤0))
解析
如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
∴同理可得△ABC区域(含边界)为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－1≥0,x－y＋2≥0,2x＋y－5≤0)).
8．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．
答案 6
解析 由题意点(x，y)的坐标应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈N,y∈N,x＋y≤2))，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．
9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．
答案 －1解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,a＋1≤0)).无解．
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤0,a＋1>0))，∴－1综上所述，－110．若A为不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
答案 eq \f(7,4)
解析
如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．
又D(0,1)，B(0,2)，
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，C(－2,0)．
S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－eq \f(1,4)＝eq \f(7,4).
三、解答题
11．利用平面区域求不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥3,y≥2,6x＋7y≤50))的整数解．
解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．
把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤eq \f(32,7)，又∵y≥2，
∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，
得y≤eq \f(26,7)，
∴整点有：(4,2)(4,3)．
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤eq \f(20,7)，
∴整点有：(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤eq \f(8,7)，与y≥2不符．
∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．
12．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＋1≥0,kx－my≤0,y≥0))表示的平面区域的面积是多少？
解 P、Q关于直线x＋y＝0对称，故PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即是直线y＝kx＋1，故k＝1；
又线段PQ为圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线x＋y＝0，又圆心为(－eq \f(k,2)，－eq \f(m,2))，
∴m＝－k＝－1，
∴不等式组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0,x＋y≤0,y≥0))，
它表示的区域如图所示，直线x－y＋1＝0与x＋y＝0的交点为(－eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，∴S△＝eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).故面积为eq \f(1,4).
能力提升
13．设不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－11≥0，,3x－y＋3≥0，,5x－3y＋9≤0))表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3]
C．(1,2] D．[3，＋∞)
答案 A
解析 作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－11＝0，,3x－y＋3＝0，))得交点A(2,9)．
对y＝ax的图象，当0当a>1，y＝ax恰好经过A点时，由a2＝9，得a＝3.
要满足题意，
需满足a2≤9，解得114．若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是______________．
答案 0解析
不等式表示的平面区域如图所示，
当x＋y＝a过Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))时表示的区域是△AOB，此时a＝eq \f(4,3)；
当a>eq \f(4,3)时，表示区域是△AOB；
当x＋y＝a过B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时a＝1；
当0当a<0时不表示任何区域，当11．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数．