高中数学人教版新课标A必修5第三章不等式综合与测试练习题

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这是一份高中数学人教版新课标A必修5第三章不等式综合与测试练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．若a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
2．已知x>1，y>1，且eq \f(1,4)ln x，eq \f(1,4)，ln y成等比数列，则xy( )
A．有最大值e B．有最大值eq \r(e)
C．有最小值e D．有最小值eq \r(e)
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M>N B．M≥N
C．M4．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为( )
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a)
C．(－3,4) D．(2a,6a)
5．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2>b2 B．(eq \f(1,2))a<(eq \f(1,2))b
C．lg(a－b)>0 D.eq \f(a,b)>1
6．当x>1时，不等式x＋eq \f(1,x－1)≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2， x≤0,－x＋2， x>0))，则不等式f(x)≥x2的解集是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
8．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.eq \f(1,ab)>eq \f(1,2) B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤1
C.eq \r(ab)≥2 D.eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,8)
9．设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y＋2≥0，))则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
11．设M＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))，且a＋b＋c＝1 (其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，1))
C．[1,8) D．[8，＋∞)
12．函数f(x)＝x2－2x＋eq \f(1,x2－2x＋1)，x∈(0,3)，则( )
A．f(x)有最大值eq \f(7,4) B．f(x)有最小值－1
C．f(x)有最大值1 D．f(x)有最小值1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知t>0，则函数y＝eq \f(t2－4t＋1,t)的最小值为
________________________________________________________________________．
14．对任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是________．
15．若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋5≥0，,y≥a，,0≤x≤2))表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)与a＋b的大小．
18．(12分)已知a，b，c∈(0，＋∞)．
求证：(eq \f(a,a＋b))·(eq \f(b,b＋c))·(eq \f(c,c＋a))≤eq \f(1,8).
19．(12分)若a<1，解关于x的不等式eq \f(ax,x－2)>1.
20．(12分)求函数y＝eq \f(\r(x＋2),2x＋5)的最大值．
21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？
第三章不等式章末检测答案(B)
1．D [∵a<0，－1∴ab>0，ab2<0.
∴ab>a，ab>ab2.
∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，
∴a2．C
3．A [∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3
＝(a－1)2＋2>0.∴M>N.]
4．B [∵x2－ax－12a2<0(a<0)
⇔(x－4a)(x＋3a)<0
⇔4a5．B [取a＝0，b＝－1，否定A、C、D选项．
故选B.]
6．D [∵x>1，∴x＋eq \f(1,x－1)＝(x－1)＋eq \f(1,x－1)＋1≥
2eq \r(x－1·\f(1,x－1))＋1＝3.∴a≤3.]
7．A [f(x)≥x2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0,x＋2≥x2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,－x＋2≥x2))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0,x2－x－2≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,x2＋x－2≤0))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0,－1≤x≤2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,－2≤x≤1))
⇔－1≤x≤0或0⇔－1≤x≤1.]
8．D [取a＝1，b＝3，可验证A、B、C均不正确，
故选D.]
9．C [可行域如阴影，当直线u＝x＋3y过A(－2，－2)时，
u有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B(eq \f(2,3)，eq \f(2,3))时u有最大值eq \f(2,3)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3).
∴u＝x＋3y∈[－8，eq \f(8,3)]．
∴z＝|u|＝|x＋3y|∈[0,8]．故选C.]
10．B [设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝eq \f(\f(s,2),a)＋eq \f(\f(s,2),b)＝eq \f(s,2a)＋eq \f(s,2b)＝s×eq \f(a＋b,2ab)，ta＋tb＝s⇒2t＝eq \f(2s,a＋b)，
∴T－2t＝eq \f(sa＋b,2ab)－eq \f(2s,a＋b)＝s×eq \f(a＋b2－4ab,2aba＋b)＝eq \f(sa－b2,2aba＋b)>0，
故选B.]
11．D [M＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b＋c,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b＋c,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b＋c,c)－1))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(c,a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＋\f(c,b)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,c)＋\f(b,c)))
≥2eq \r(\f(b,a)·\f(c,a))·2eq \r(\f(a,b)·\f(c,b))·2eq \r(\f(a,c)·\f(b,c))＝8.
∴M≥8，当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时取“＝”．]
12．D [∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，
∴(x－1)2∈[0,4)，
∴f(x)＝(x－1)2＋eq \f(1,x－12)－1
≥2eq \r(x－12·\f(1,x－12))－1＝2－1＝1.
当且仅当(x－1)2＝eq \f(1,x－12)，且x∈(0,3)，
即x＝2时取等号，∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1.]
13．－2
解析 ∵t>0，
∴y＝eq \f(t2－4t＋1,t)＝t＋eq \f(1,t)－4≥2－4＝－2.
14．－2解析当a＝2时，－4<0恒成立，∴a＝2符合．
当a－2≠0时，则a应满足：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2<0,Δ＝4a－22＋16a－2<0))解得－2综上所述，－215．5≤a<7
解析先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．
由图知：5≤a<7.
16．20
解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买eq \f(400,x)次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为(eq \f(400,x)·4＋4x)万元，eq \f(400,x)·4＋4x≥160，当eq \f(1 600,x)＝4x即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
17．解 ∵(eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a))－(a＋b)＝eq \f(a2,b)－b＋eq \f(b2,a)－a
＝eq \f(a2－b2,b)＋eq \f(b2－a2,a)＝(a2－b2)(eq \f(1,b)－eq \f(1,a))
＝(a2－b2)eq \f(a－b,ab)＝eq \f(a－b2a＋b,ab)
又∵a>0，b>0，a≠b，
∴(a－b)2>0，a－b>0，ab>0，
∴(eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a))－(a＋b)>0，∴eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)>a＋b.
18．证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2eq \r(ab)>0，b＋c≥2eq \r(bc)>0，
c＋a≥2eq \r(ac)>0，
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc>0.
∴eq \f(abc,a＋bb＋cc＋a)≤eq \f(1,8)
即(eq \f(a,a＋b))·(eq \f(b,b＋c))·(eq \f(c,c＋a))≤eq \f(1,8).
当且仅当a＝b＝c时，取到“＝”．
19．解不等式eq \f(ax,x－2)>1可化为eq \f(a－1x＋2,x－2)>0.
∵a<1，∴a－1<0，
故原不等式可化为eq \f(x－\f(2,1－a),x－2)<0.
故当0{x|2当a<0时，原不等式的解集为
{x|eq \f(2,1－a)当a＝0时，原不等式的解集为∅.
20．解设t＝eq \r(x＋2)，从而x＝t2－2(t≥0)，
则y＝eq \f(t,2t2＋1).
当t＝0时，y＝0；
当t>0时，y＝eq \f(1,2t＋\f(1,t))≤eq \f(1,2 \r(2t·\f(1,t)))＝eq \f(\r(2),4).
当且仅当2t＝eq \f(1,t)，即t＝eq \f(\r(2),2)时等号成立．
即当x＝－eq \f(3,2)时，ymax＝eq \f(\r(2),4).
21．解 (1)设DN的长为x(x>0)米，
则AN＝(x＋2)米．
∵eq \f(DN,AN)＝eq \f(DC,AM)，∴AM＝eq \f(3x＋2,x)，
∴SAMPN＝AN·AM＝eq \f(3x＋22,x)，
由SAMPN>32，得eq \f(3x＋22,x)>32.
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得：06，
即DN长的取值范围是(0，eq \f(2,3))∪(6，＋∞)．
(2)矩形花坛AMPN的面积为
y＝eq \f(3x＋22,x)＝eq \f(3x2＋12x＋12,x)
＝3x＋eq \f(12,x)＋12≥2eq \r(3x·\f(12,x))＋12＝24，
当且仅当3x＝eq \f(12,x)，即x＝2时，
矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，
最小值为24平方米．
22．解设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元．
依题意可得约束条件：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9x＋4y≤360,4x＋5y≤200,3x＋10y≤300,x≥0,y≥0))
作出可行域如图.
利润目标函数z＝6x＋12y，
由几何意义知，当直线l：z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值．解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋10y＝300,4x＋5y＝200))，
得x＝20，y＝24，即M(20,24)．
答生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
产品消耗量资源
甲产品
(每吨)
乙产品
(每吨)
资源限额
(每天)
煤(t)
9
4
360
电力(kw· h)
4
5
200
劳动力(个)
3
10
300
利润(万元)
6
12

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