数学必修53.4 基本不等式测试题

这是一份数学必修53.4 基本不等式测试题，共5页。试卷主要包含了理解基本不等式的内容及其证明；，能利用基本不等式证明简单不等式，基本不等式的常用推论等内容，欢迎下载使用。

课时目标
1．理解基本不等式的内容及其证明；
2．能利用基本不等式证明简单不等式．
1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
2．若a，b都为正数，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为a，b的几何平均数．
3．基本不等式的常用推论
(1)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2) (a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋eq \f(1,x)≥2；当x<0时，x＋eq \f(1,x)≤－2.
(3)当ab>0时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2；当ab<0时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≤－2.
(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
一、选择题
1．已知a>0，b>0，则eq \f(a＋b,2)，eq \r(ab)， eq \r(\f(a2＋b2,2))，eq \f(2ab,a＋b)中最小的是( )

A.eq \f(a＋b,2) B.eq \r(ab) C. eq \r(\f(a2＋b2,2)) D.eq \f(2ab,a＋b)
答案 D
解析 方法一 特殊值法．
令a＝4，b＝2，则eq \f(a＋b,2)＝3，eq \r(ab)＝eq \r(8)， eq \r(\f(a2＋b2,2))＝eq \r(10)，eq \f(2ab,a＋b)＝eq \f(8,3).∴eq \f(2ab,a＋b)最小．
方法二 eq \f(2ab,a＋b)＝eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))，由eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))，可知eq \f(2ab,a＋b)最小．
2．已知m＝a＋eq \f(1,a－2) (a>2)，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是( )
A．m>n B．m答案 A
解析 ∵m＝(a－2)＋eq \f(1,a－2)＋2≥2eq \r(a－2\f(1,a－2))＋2＝4，
n＝22－x2<22＝4.∴m>n.
3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤eq \f(a2＋b2,2) B．ab<1C．ab答案 B
解析 ∵ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a≠b，∴ab<1，
又∵eq \r(\f(a2＋b2,2))>eq \f(a＋b,2)>0，
∴eq \f(a2＋b2,2)>1，∴ab<14．已知正数0A．a2＋b2 B．2eq \r(ab) C．2ab D．a＋b
答案 D
解析 因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2eq \r(ab)，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又05．设0A.eq \f(1,2) B．b C．2ab D．a2＋b2
答案 B
解析 ∵ab∵eq \r(\f(a2＋b2,2))>eq \f(a＋b,2)>0，∴ eq \r(\f(a2＋b2,2))>eq \f(1,2)，
∴a2＋b2>eq \f(1,2).
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))恒成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－eq \f(5,2) D．－3
答案 B
解析 x2＋ax＋1≥0在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))上恒成立
⇔ax≥－x2－1⇔a≥eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))))max.
∵x＋eq \f(1,x)≥2，∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≤－2，∴a≥－2.
二、填空题
7．若a<1，则a＋eq \f(1,a－1)有最______值，为________．
答案 大 －1
解析 ∵a<1，∴a－1<0，
∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1＋\f(1,a－1)))＝(1－a)＋eq \f(1,1－a)≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋eq \f(1,a－1)≤－2，∴a＋eq \f(1,a－1)≤－1.
8．若lg x＋lg y＝1，则eq \f(2,x)＋eq \f(5,y)的最小值为________．
答案 2
解析 ∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，
∴eq \f(2,x)＋eq \f(5,y)＝eq \f(2,x)＋eq \f(x,2)≥2(x＝2时取等号)．
9．已知x，y∈R＋，且满足eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．
答案 3
解析 ∵x>0，y>0且1＝eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)≥2eq \r(\f(xy,12))，
∴xy≤3.当且仅当eq \f(x,3)＝eq \f(y,4)时取等号．
10．若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
解析 ∵x>0，∴eq \f(x,x2＋3x＋1)>0，易知a>0.
∴eq \f(x2＋3x＋1,x)≥eq \f(1,a)，
∴eq \f(1,a)≤x＋eq \f(1,x)＋3.
∵x>0，x＋eq \f(1,x)＋3≥2eq \r(x·\f(1,x))＋3＝5(x＝1时取等号)，
∴eq \f(1,a)≤5.∴a≥eq \f(1,5).
三、解答题
11．设a、b、c都是正数，求证：eq \f(bc,a)＋eq \f(ca,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c.
证明 ∵a、b、c都是正数，∴eq \f(bc,a)、eq \f(ca,b)、eq \f(ab,c)也都是正数．
∴eq \f(bc,a)＋eq \f(ca,b)≥2c，eq \f(ca,b)＋eq \f(ab,c)≥2a，eq \f(bc,a)＋eq \f(ab,c)≥2b，
三式相加得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)＋\f(ca,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)，
即eq \f(bc,a)＋eq \f(ca,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c.
12．a>b>c，n∈N且eq \f(1,a－b)＋eq \f(1,b－c)≥eq \f(n,a－c)，求n的最大值．
解 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.
∵eq \f(1,a－b)＋eq \f(1,b－c)≥eq \f(n,a－c)，
∴n≤eq \f(a－c,a－b)＋eq \f(a－c,b－c).
∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，
∴n≤eq \f(a－b＋b－c,a－b)＋eq \f(a－b＋b－c,b－c)，
∴n≤eq \f(b－c,a－b)＋eq \f(a－b,b－c)＋2.
∵eq \f(b－c,a－b)＋eq \f(a－b,b－c)≥2 eq \r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))
＝2(2b＝a＋c时取等号)．
∴n≤4.∴n的最大值是4.
能力提升
13．已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
答案 C
解析 只需求(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值大于等于9即可，
又(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a·eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＋a≥a＋1＋2 eq \r(a·\f(x,y)·\f(y,x))＝a＋2 eq \r(a)＋1，等号成立仅当a·eq \f(x,y)＝eq \f(y,x)即可，所以(eq \r(a))2＋2 eq \r(a)＋1≥9，
即(eq \r(a))2＋2 eq \r(a)－8≥0求得eq \r(a)≥2或eq \r(a)≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.
14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.
求证：eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)证明 ∵eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2 eq \r(\f(1,ab))＝2eq \r(c)，
eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥2 eq \r(\f(1,bc))＝2eq \r(a)，
eq \f(1,c)＋eq \f(1,a)≥2 eq \r(\f(1,ac))＝2eq \r(b)，
∴2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥2(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))，
即eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c).
∵a，b，c为不等正实数，
∴eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．
2．两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．
一方面：当a＝b时，eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；
另一方面：当eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)时，也有a＝b.