高中数学人教版新课标A必修5探究与发现 解三角形的进一步讨论复习练习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修5探究与发现 解三角形的进一步讨论复习练习题，共9页。

1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α>βB．α＝β
C．α＋β＝90°D．α＋β＝180°
【解析】 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.
【答案】 B
2．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( )
A．15°B．30°
C．45°D．60°
【解析】 如图所示，
sin∠CAB＝eq \f(20,40)＝eq \f(1,2)，∴∠CAB＝30°.
【答案】 B
3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A、B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )
A．28海里/小时B．14海里/小时
C．14eq \r(2)海里/小时D．20海里/小时
【解析】 如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，
在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，
AB＝12海里，∠BAC＝120°，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 120°＝784，
∴BC＝28海里，
∴v＝14海里/小时．
【答案】 B
4．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为( )
A．14米B．15米
C．16米D．17米
【解析】 如图，设DN＝x m，
则142＝102＋x2－2×10×
xcs 60°，
∴x2－10x－96＝0.
∴(x－16)(x＋6)＝0.
∴x＝16或x＝－6(舍)．
∴N与D之间的距离为16米．
【答案】 C
二、填空题
5．(2015·湖北高考)如图1­2­26，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m.
图1­2­26
【解析】 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，解得BC＝300eq \r(2) m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)
＝100eq \r(6)(m)．
【答案】 100eq \r(6)
6．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为eq \r(3)海里，则x的值为 ．
【解析】 x2＋9－2·x·3cs 30°＝(eq \r(3))2，
解得x＝2eq \r(3)或x＝eq \r(3).
【答案】 eq \r(3)或2eq \r(3)
7．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为 km. 【导学号：05920062】
【解析】 如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，
∠AMB＝45°，
在△AMB中，
由正弦定理得eq \f(60,sin 45°)＝eq \f(BM,sin 30°)，
解得BM＝30eq \r(2)(km)．
【答案】 30eq \r(2)
8．一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P的南偏西75°、距塔68 n mile的M处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 n mile/h.
【解析】 如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.
在△PMN中，由正弦定理，得
eq \f(MN,sin 120°)＝eq \f(PM,sin 45°)，
∴MN＝68×eq \f(\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝34eq \r(6).
又由M到N所用时间为14－10＝4(h)，
∴船的航行速度v＝eq \f(34\r(6),4)＝eq \f(17,2)eq \r(6)(n mile/h)．
【答案】 eq \f(17,2)eq \r(6)
三、解答题
9．平面内三个力F1、F2、F3作用于同一点且处于平衡状态．已知F1、F2的大小分别为1 N、eq \f(\r(6)＋\r(2),2) N，F1与F2的夹角为45°，求F3的大小及F3与F1的夹角的大小．
【解】 如图，设F1与F2的合力为F，则F3＝－F.
∵∠BOC＝45°，
∴∠ABO＝135°.
在△OBA中，由余弦定理得
|F|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1|·|F2|cs 135°
＝4＋2eq \r(3).
∴|F|＝1＋eq \r(3)，即|F3|＝eq \r(3)＋1.
又由正弦定理得
sin∠BOA＝eq \f(|F2|sin∠ABO,|F|)＝eq \f(1,2).
∴∠BOA＝30°.
∴∠BOD＝150°.
故F3的大小为(eq \r(3)＋1)N，F1与F3的夹角为150°.
10. (2016·焦作模拟)如图1­2­27，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救．
图1­2­27
【解】 设∠ABD＝α，在△ABD中，AD＝30，
BD＝42，∠BAD＝60°.
由正弦定理得eq \f(AD,sin α)＝eq \f(BD,sin∠BAD)，
sin α＝eq \f(AD,BD)sin∠BAD＝eq \f(30,42)sin 60°＝eq \f(5\r(3),14)，
又∵AD∴0°<α<60°，cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(11,14)，
cs∠BDC＝cs(60°＋α)＝－eq \f(1,7).
在△BDC中，由余弦定理得
BC2＝DC2＋BD2－2DC·BDcs∠BDC＝402＋422－2×40×42cs(60°＋α)＝3 844，BC＝62 km，
即渔政船乙要航行62 km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救．
[能力提升]
1．(2016·湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量．在C点测得塔底B在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为( )
A．5米B．10米
C．15米D．20米
【解析】 如图，由题意得，AB⊥平面BCD，
∴AB⊥BC，AB⊥BD.
设塔高AB＝x，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
所以BC＝AB＝x，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴BD＝eq \f(AB,tan 30°)＝eq \r(3)x，
在△BCD中，由余弦定理得
BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cs 120°，
∴(eq \r(3)x)2＝x2＋100＋10x，
解得x＝10或x＝－5(舍去)，故选B.
【答案】 B
2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )
A.eq \f(150,7)分钟 B.eq \f(15,7)分钟
C．21.5分钟D．2.15小时
【解析】 如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cs 120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cs 120°＝28t2－20t＋100＝28eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(5,14)))2＋eq \f(675,7).
当t＝eq \f(5,14)时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为eq \f(5,14)×60＝eq \f(150,7)分钟．
【答案】 A
3．如图1­2­28所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cs θ＝ .
图1­2­28
【解析】 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 120°＝2 800⇒BC＝20eq \r(7).
由正弦定理eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)⇒
sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq \f(\r(21),7)，
∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，cs∠ACB＝eq \f(2\r(7),7).
由θ＝∠ACB＋30°，则cs θ＝cs(∠ACB＋30°)＝cs∠ACB·cs 30°－sin∠ACB·sin 30°＝eq \f(\r(21),14).
【答案】 eq \f(\r(21),14)
4．如图1­2­29，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．
图1­2­29
(1)求该军舰艇的速度；
(2)求sin α的值．
【解】 (1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cs 120°＝78 400，解得BC＝280.
所以该军舰艇的速度为eq \f(BC,2)＝140海里/小时．
(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(AB,sin α)＝eq \f(BC,sin 120°)，
即sin α＝eq \f(ABsin 120°,BC)＝eq \f(200×\f(\r(3),2),280)＝eq \f(5\r(3),14).