2020-2021学年第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法达标测试

这是一份2020-2021学年第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法达标测试，共5页。

1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( )
①数列的通项公式是唯一的；
②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；
③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．
【答案】 B
2．数列的通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n＋1，n为奇数，,2n－2，n为偶数，))则a2·a3等于( )
A．70B．28
C．20D．8
【解析】 由an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n＋1，n为奇数，,2n－2，n为偶数，))
得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
【答案】 C
3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
【解析】 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．
【答案】 A
4．(2015·宿州高二检测)已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(n－1,n＋1)，那么这个数列是( )
A．递增数列B．递减数列
C．常数列D．摆动数列
【解析】 an＝eq \f(n－1,n＋1)＝1－eq \f(2,n＋1)，∴当n越大，eq \f(2,n＋1)越小，则an越大，故该数列是递增数列．
【答案】 A
5．在数列－1,0，eq \f(1,9)，eq \f(1,8)，…，eq \f(n－2,n2)，…中，0.08是它的( )
A．第100项B．第12项
C．第10项D．第8项
【解析】 ∵an＝eq \f(n－2,n2)，令eq \f(n－2,n2)＝0.08，解得n＝10或n＝eq \f(5,2)(舍去)．
【答案】 C
二、填空题
6．(2015·黄山质检)已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为 ．
【解析】 由an＝19－2n>0，得n∵n∈N*，∴n≤9.
【答案】 9
7．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝ .
【解析】 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝a＋m＝2，,a2＝a2＋m＝4，))∴a2－a＝2，
∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1.
又a＋m＝2，∴m＝3，
∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2.
【答案】 2
8．(2015·宁津高二检测)如图2­1­1①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2­1­1②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝ .
图2­1­1
【解析】 因为OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，
OAn＝eq \r(n)，…，
所以a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，an＝eq \r(n).
【答案】 eq \r(n)
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)eq \f(4,5)，eq \f(1,2)，eq \f(4,11)，eq \f(2,7)，…；
(2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)，…；
(3)1,3,6,10,15，…；
(4)7,77,777，…. 【导学号：05920064】
【解】 (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为eq \f(4,5)，eq \f(4,8)，eq \f(4,11)，eq \f(4,14)，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝eq \f(4,3n＋2).
(2)把分母统一为2，则有eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，…，因而有an＝eq \f(n2,2).
(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即eq \f(1×2,2)，eq \f(2×3,2)，eq \f(3×4,2)，eq \f(4×5,2)，eq \f(5×6,2)，…，因而有an＝eq \f(nn＋1,2).
(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有an＝eq \f(7,9)(10n－1)．
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2016；
(3)2016是否为数列{an}中的项？
【解】 (1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋b＝2，,17k＋b＝66，))
解得k＝4，b＝－2.∴an＝4n－2.
(2)a2 016＝4×2 016－2＝8 062.
(3)由4n－2＝2 016得n＝504.5∉N*，
故2 016不是数列{an}中的项．
[能力提升]
1．已知数列{an}的通项公式an＝lg(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )
A.eq \f(1,5)B．5
C．6D．eq \f(lg23＋lg3132,5)
【解析】 a1·a2·a3·…·a30＝lg23×lg34×lg45×…×lg3132＝eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)×…×eq \f(lg 32,lg 31)＝eq \f(lg 32,lg 2)＝lg232＝lg225＝5.
【答案】 B
2．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，2]B．(－∞，3)
C．(－∞，2)D．(－∞，3]
【解析】 an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．
【答案】 B
3．根据图2­1­2中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有 个点．
图2­1­2
【解析】 观察图形可知，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．
【答案】 n2－n＋1
4．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n2－21n,2)(n∈N*)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项．
【解】 (1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．
令an＝1，得eq \f(n2－21n,2)＝1，
而该方程无正整数解，∴1不是数列{an}中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，
则有an＝an＋1，即eq \f(n2－21n,2)＝eq \f(n＋12－21n＋1,2).
解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．