2021学年2.2 等差数列巩固练习

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1．(2015·汉口高二检测)下列说法中正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则lg2a，lg2b，lg2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
【解析】 不妨设a＝1，b＝2，c＝3.
A选项中，a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然a2，b2，c2不成等差数列．
B选项中，lg21＝0，lg22＝1，lg23>1，显然lg2a，lg2b，lg2c也不成等差数列．
C选项中，a＋2＝3，b＋2＝4，c＋2＝5，显然a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．
D选项中，2a＝2,2b＝4,2c＝8，显然2a,2b,2c也不构成等差数列．
【答案】 C
2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根B．有两个相等实根
C．有两个不等实根D．不能确定有无实根
【解析】 由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，
∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无解．
【答案】 A
3．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
A．0B．37
C．100D．－37
【解析】 设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.
∴c37＝100.
【答案】 C
4．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝( )
A．39B．20
C．19.5D．33
【解析】 由等差数列的性质，得
a1＋a4＋a7＝3a4＝45，
a2＋a5＋a8＝3a5＝39，
a3＋a6＋a9＝3a6.
又3a5×2＝3a4＋3a6，
解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.
【答案】 D
5．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝( )
A．6B．7
C．8D．10
【解析】 设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{an}，则a2＝2 500，a5＝4 000.
由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500.
由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7.
【答案】 B
二、填空题
6．(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝ .
【解析】 因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以5a5＝25，即a5＝5.所以a2＋a8＝2a5＝10.
【答案】 10
7．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则eq \f(d1,d2)的值为 ．
【解析】 n－m＝3d1，d1＝eq \f(1,3)(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝eq \f(1,4)(n－m)．
∴eq \f(d1,d2)＝eq \f(\f(1,3)n－m,\f(1,4)n－m)＝eq \f(4,3).
【答案】 eq \f(4,3)
8．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为 ．
【解析】 不妨设角A＝120°，c则a＝b＋4，c＝b－4，
于是cs 120°＝eq \f(b2＋b－42－b＋42,2bb－4)＝－eq \f(1,2)，
解得b＝10，
所以S＝eq \f(1,2)bcsin 120°＝15eq \r(3).
【答案】 15eq \r(3)
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
【解】 ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 【导学号：05920067】
【解】 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
[能力提升]
1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0D．a51＝51
【解析】 根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.
【答案】 C
2．(2016·郑州模拟)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq \f(1,3)a11的值为( )
A．14B．15
C．16D．17
【解析】 设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－eq \f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq \f(1,3)(a8＋3d)＝eq \f(2,3)a8＝16.
【答案】 C
3．数列{an}中，a1＝1，a2＝eq \f(2,3)，且eq \f(1,an－1)＋eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,an)，则an＝ .
【解析】 因为eq \f(1,an－1)＋eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,an)，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))为等差数列，
又eq \f(1,a1)＝1，
公差d＝eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝eq \f(3,2)－1＝eq \f(1,2)，
所以通项公式eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝1＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n＋1,2)，所以an＝eq \f(2,n＋1).
【答案】 eq \f(2,n＋1)
4．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
【解】 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11，
又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，
等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1.
所以数列{cn}为等差数列，且公差d＝12，①
所以cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302，②
得n≤25eq \f(1,4)，可见已知两数列共有25个相同的项.