高中数学人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和当堂达标检测题

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和当堂达标检测题，共5页。

1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是( )
A．1,1 B．－1，－1 C．1,0 D．－1,0
【解析】 S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
【答案】 D
2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )
A．31 B．33 C．35 D．37
【解析】 根据等比数列性质得eq \f(S10－S5,S5)＝q5，
∴eq \f(S10－1,1)＝25，∴S10＝33.
【答案】 B
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )
A．7 B．8 C．15 D．16
【解析】 设{an}的公比为q，
∵4a1,2a2，a3成等差数列，
∴4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，
即q2－4q＋4＝0，
∴q＝2，
又a1＝1，
∴S4＝eq \f(1－24,1－2)＝15，故选C.
【答案】 C
4．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100
C．95 D．80
【解析】 由等比数列的性质知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
其首项为40，公比为eq \f(60,40)＝eq \f(3,2).
∴a7＋a8＝40×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3＝135.
【答案】 A
5．数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a30＋b30＝60，则{an＋bn}的前30项的和为( )
A．1 000 B．1 020 C．1 040 D．1 080
【解析】 {an＋bn}的前30项的和S30＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(a30＋b30)＝(a1＋a2＋a3＋…＋a30)＋(b1＋b2＋b3＋…＋b30)＝eq \f(30a1＋a30,2)＋eq \f(30b1＋b30,2)＝15(a1＋a30＋b1＋b30)＝1 080.
【答案】 D
二、填空题
6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
【解析】 设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝eq \f(a11－q2n,1－q)，
S奇＝eq \f(a1[1－q2n],1－q2).
由题意得eq \f(a11－q2n,1－q)＝eq \f(3a11－q2n,1－q2).
∴1＋q＝3，∴q＝2.
【答案】 2
7．数列11,103,1 005,10 007，…的前n项和Sn＝________.
【解析】 数列的通项公式an＝10n＋(2n－1)．
所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝eq \f(101－10n,1－10)＋eq \f(n1＋2n－1,2)＝eq \f(10,9)(10n－1)＋n2.
【答案】 eq \f(10,9)(10n－1)＋n2
8．如果lg x＋lg x2＋…＋lg x10＝110，那么lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝________.
【解析】 由已知(1＋2＋…＋10)lg x＝110，
∴55lg x＝110.∴lg x＝2.
∴lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2 046.
【答案】 2 046
三、解答题
9．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值. 【导学号：05920073】
【解】 ∵S30≠3S10，∴q≠1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S30＝13S10，,S10＋S30＝140，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S10＝10，,S30＝130.))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q10,1－q)＝10，,\f(a11－q30,1－q)＝130.))
∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，
∴S20＝eq \f(a11－q20,1－q)＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
10．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前5项和．
【解】 若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得9×eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(a11－q6,1－q)，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，eq \f(1,an)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1.
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列，其前5项和为S5＝eq \f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq \f(31,16).
[能力提升]
1．(2015·广州六月月考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
【解析】 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq \f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
【答案】 A
2．设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝eq \f(S1＋S2＋…＋Sn,n)为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为( )
A．1 673 B．1 675 C.eq \f(5 035,3) D.eq \f(5 041,3)
【解析】 因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 014，所以eq \f(S1＋S2＋S3＋S4＋S5,5)＝2 014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为eq \f(2＋2＋S1＋2＋S2＋…＋2＋S5,6)＝eq \f(6×2＋5×2 014,6)＝eq \f(5 041,3).
【答案】 D
3．已知首项为eq \f(3,2)的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝eq \f(a5,a3)＝eq \f(1,4).
又{an}不是递减数列且a1＝eq \f(3,2)，所以q＝－eq \f(1,2).
故等比数列{an}的通项公式为
an＝eq \f(3,2)×－eq \f(1,2)n－1
＝(－1)n－1×eq \f(3,2n).
【答案】 (－1)n－1×eq \f(3,2n)
4．(2015·重庆高考)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝eq \f(9,2).
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)设{an}的公差为d，则由已知条件得
a1＋2d＝2,3a1＋eq \f(3×2,2)d＝eq \f(9,2)，
化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝eq \f(3,2)，
解得a1＝1，d＝eq \f(1,2)，
故{an}的通项公式an＝1＋eq \f(n－1,2)，即an＝eq \f(n＋1,2).
(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝eq \f(15＋1,2)＝8.
设{bn}的公比为q，则q3＝eq \f(b4,b1)＝8，从而q＝2，
故{bn}的前n项和Tn＝eq \f(b11－qn,1－q)＝eq \f(1×1－2n,1－2)＝2n－1.