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    数学必修53.2 一元二次不等式及其解法当堂检测题

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    这是一份数学必修53.2 一元二次不等式及其解法当堂检测题,共6页。

    1.不等式eq \f(4x+2,3x-1)>0的解集是( )
    A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,3)或x<-\f(1,2)))))
    B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,3)))))
    D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<-\f(1,2)))))
    【解析】 eq \f(4x+2,3x-1)>0⇔(4x+2)(3x-1)>0⇔x>eq \f(1,3)或x<-eq \f(1,2),此不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,3)))或x<-\f(1,2))).
    【答案】 A
    2.如果A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值集合为( )
    A.{a|0B.{a|0≤a<4}
    C.{a|0D.{a|0≤a≤4}
    【解析】 当a=0时,有1<0,故A=∅.
    当a≠0时,若A=∅,则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,,Δ=a2-4a≤0,))
    解得0综上,a∈{a|0≤a≤4}.
    【答案】 D
    3.关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式eq \f(ax+b,x-2)>0的解集是( )
    A.(-∞,0)∪(1,+∞)
    B.(-1,2)
    C.(1,2)
    D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
    【解析】 ∵ax-b>0的解集为(1,+∞),
    ∴a=b>0,∴eq \f(ax+b,x-2)>0⇔eq \f(ax+1,x-2)>0,
    ∴x<-1或x>2.
    【答案】 D
    4.设集合P={m|-1A.PQ B.QP
    C.P=Q D.P∩Q=∅
    【解析】 当m=0时,-4<0对任意实数x∈R恒成立;当m≠0时,由mx2+4mx-4<0对任意实数x∈R恒成立可得,
    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0,,Δ=16m2+16m<0,))解得-1综上所述,Q={m|-1∴PQ,故选A.
    【答案】 A
    5.在R上定义运算eq \x(×):Aeq \x(×)B=A(1-B),若不等式(x-a)eq \x(×)(x+a)<1对任意的实数x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )
    A.-1B.0C.-eq \f(1,2)D.-eq \f(3,2)【解析】 (x-a)eq \x(×)(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a,∴-x2+x+a2-a<1,即x2-x-a2+a+1>0对x∈R恒成立,∴Δ=1-4(-a2+a+1)=4a2-4a-3<0,∴(2a-3)(2a+1)<0,即-eq \f(1,2)【答案】 C
    二、填空题
    6.若a<0,则不等式eq \f(x-4a,x+5a)>0的解集是________.
    【解析】 原不等式可化为(x-4a)(x+5a)>0,
    由于a<0,所以4a<-5a,
    因此原不等式的解集为{x|x<4a或x>-5a}.
    【答案】 {x|x<4a或x>-5a}
    7.偶函数y=f(x)和奇函数y=g(x)的定义域均为[-4,4],f(x)在[-4,0]上,g(x)在[0,4]上的图象如图3­2­2所示,则不等式eq \f(fx,gx)<0的解集为________.
    图3­2­2
    【解析】 由已知得当x∈(-4,-2)∪(2,4)时,f(x)>0,当x∈(-2,2)时,f(x)<0,当x∈(-4,0)时,g(x)>0,x∈(0,4)时,g(x)<0.
    所以当x∈(-2,0)∪(2,4)时,eq \f(fx,gx)<0.
    所以不等式eq \f(fx,gx)<0的解集为{x∈R|-2【答案】 {x∈R|-28.某地每年销售木材约20万m3,每m3价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少eq \f(5,2)t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是________.
    【解析】 设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,则y=2 400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20-\f(5,2)t))×t%=60(8t-t2).
    令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.
    【答案】 [3,5]
    三、解答题
    9.(2016·亳州高二检测)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
    (2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R?
    【解】 (1)由题意知1-a<0,且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-a<0,,\f(4,1-a)=-2,,\f(6,1-a)=-3,))解得a=3.
    ∴不等式2x2+(2-a)x-a>0,
    即为2x2-x-3>0,解得x<-1或x>eq \f(3,2).
    ∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<-1或x>\f(3,2))))).
    (2)ax2+bx+3≥0,即3x2+bx+3≥0,
    若此不等式解集为R,则Δ=b2-4×3×3≤0,
    ∴-6≤b≤6.
    10.某地区上年度电价为0.8元/kw·h,年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间,而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.
    (1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
    (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
    注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)
    【解】 (1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知,用电量增至eq \f(k,x-0.4)+a,电力部门的收益为
    y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,x-0.4)+a))(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
    (2)依题意,有
    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.2a,x-0.4)+a))x-0.3≥[a×0.8-0.3]1+20%,,0.55≤x≤0.75.))
    整理,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2-1.1x+0.3≥0,,0.55≤x≤0.75.))
    解此不等式,得0.60≤x≤0.75.
    ∴当电价最低定为0.60元/千瓦时时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
    [能力提升]
    1.若实数α,β为方程x2-2mx+m+6=0的两根,则(α-1)2+(β-1)2的最小值为( )
    A.8 B.14
    C.-14 D.-eq \f(49,4)
    【解析】 ∵Δ=(-2m)2-4(m+6)≥0,
    ∴m2-m-6≥0,∴m≥3或m≤-2.
    (α-1)2+(β-1)2=α2+β2-2(α+β)+2=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=(2m)2-2(m+6)-2(2m)+2=4m2-6m-10=4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m-\f(3,4)))2-eq \f(49,4),∵m≥3或m≤-2,∴当m=3时,(α-1)2+(β-1)2取最小值8.
    【答案】 A
    2.函数f(x)=eq \r(kx2-6kx+k+8)的定义域为R,则实数k的取值范围为( )
    A.(0,1) B.[1,+∞)
    C.[0,1] D.(-∞,0]
    【解析】 kx2-6kx+(k+8)≥0恒成立,
    当k=0时,满足.
    当k≠0时,eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>0,,Δ=-6k2-4kk+8≤0))⇒0<k≤1.
    综上,0≤k≤1.
    【答案】 C
    3.若不等式eq \f(x2-8x+20,mx2-mx-1)<0对一切x∈R恒成立,则实数m的取值范围为________.
    【解析】 ∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0,
    ∴只需mx2-mx-1<0恒成立.
    故m=0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0,,Δ=m2+4m<0,))
    ∴-4<m≤0.
    【答案】 -4<m≤0
    4.设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.
    【解】 原不等式可化为(x2-1)m-(2x-1)<0.
    令f(m)=(x2-1)m-(2x-1),其中m∈[-2,2], 则原命题等价于关于m的一次函数(x2-1≠0时)或常数函数(x2-1=0时)在m∈[-2,2]上的函数值恒小于零.
    (1)当x2-1=0时,由f(m)=-(2x-1)<0得x=1;
    (2)当x2-1>0时,f(m)在[-2,2]上是增函数,要使f(m)<0在[-2,2]上恒成立,只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2-1>0,,f2=2x2-1-2x-1<0,))
    解得1<x<eq \f(1+\r(3),2);
    (3)当x2-1<0时,f(m)在[-2,2]上是减函数,要使f(m)<0在[-2,2]上恒成立,只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2-1<0,,f-2=-2x2-1-2x-1<0,))
    解得eq \f(-1+\r(7),2)<x<1.
    综合(1)(2)(3),得eq \f(-1+\r(7),2)<x<eq \f(1+\r(3),2).
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