人教版新课标A必修5第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性练习题

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1．已知直线ax＋by＋1＝0，若ax＋by＋1>0表示的区域如选项中所示，其中正确的区域为( )
【解析】 边界直线ax＋by＋1＝0上的点不满足ax＋by＋1>0，所以应画成虚线，故排除B和D，取原点(0,0)代入ax＋by＋1，因为a×0＋b×0＋1＝1>0，所以原点(0,0)在ax＋by＋1>0表示的平面区域内，排除A，故选C.
【答案】 C
2．(2016·石家庄高二检测)点A(－2，b)不在平面区域2x－3y＋5≥0内，则b的取值范围是( )
A．b≤eq \f(1,3) B．b<1
C．b>eq \f(1,3) D．b>－9
【解析】 由题意知2×(－2)－3b＋5<0，
∴b>eq \f(1,3).
【答案】 C
3．已知点(a,2a－1)既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(0,2) D．(0,5)
【解析】 ∵(a,2a－1)在直线y＝3x－6的上方，
∴3a－6－(2a－1)<0，即a<5.
又(a,2a－1)在y轴右侧，∴a>0.
∴0【答案】 D
4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，x，y满足的条件是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y≤5，,x，y∈N*)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50x＋40y≤2 000，,\f(x,y)＝\f(2,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＋4y≤200，,\f(x,y)＝\f(2,3)，,x，y∈N*)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＋6y<100，,\f(x,y)＝\f(2,3)))
【解析】 ∵木工和瓦工各请x，y人，
∴有x∶y＝2∶3，
50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200，且x，y∈N*.
【答案】 C
5．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋5x＋y≥0，,0≤x≤3))表示的平面区域是一个( )
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
【解析】 不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋5x＋y≥0，,0≤x≤3))
等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥0，,x－y＋5≥0，,0≤x≤3))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤0，,x－y＋5≤0，,0≤x≤3.))
分别画出其平面区域(略)，可知选C.
【答案】 C
二、填空题
6．表示图3­3­3中阴影部分所示平面区域的不等式组是________．
图3­3­3
【解析】 由所给的图形容易知道，点(3,1)在相应的平面区域内，将点(3,1)的坐标分别代入3x＋2y－6、2x－3y－6、2x＋3y－12中，分别使得3x＋2y－6>0、2x－3y－6<0、2x＋3y－12<0，再注意到包括各边界，故图中阴影部分所示平面区域的不等式组是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－12≤0，,2x－3y－6≤0，,3x＋2y－6≥0.))
【答案】 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－12≤0，,2x－3y－6≤0，,3x＋2y－6≥0))
7．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．
【解析】 由题意点(x，y)的坐标应满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈N，,y∈N，,x＋y≤2，))由图可知
整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，(1,1)6个．
【答案】 6
8．若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面区域为Ω，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ω中的那部分区域的面积为________. 【导学号：05920077】
【解析】 如图所示，Ω为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ω中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，E(0,2)，△CDE为直角三角形，
∴S四边形BOCD＝S△BOE－S△CDE＝eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(7,4).
【答案】 eq \f(7,4)
三、解答题
9．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？请用不等式(组)表示出来，并画出对应的平面区域．
【解】 不妨设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意知x不小于240，y不小于180，x与y的和不超过500，用不等式组表示就是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤500，,x≥240，,y≥180.))
对应的平面区域如图阴影部分所示．
10．画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．
【解】 (x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0，
等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋1＞0，,x－y＋4＜0，))①
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋1＜0，,x－y＋4＞0，))②
则所求区域是①和②表示区域的并集．
不等式x＋2y＋1＞0表示直线x＋2y＋1＝0右上方的点的集合，
不等式x－y＋4＜0表示直线x－y＋4＝0左上方的点的集合．
所以所求不等式表示区域如图所示．
[能力提升]
1．若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋5≥0，,y≥a，,0≤x≤2))表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．(5,7) B．[5,7)
C．[5,7] D．(5,7]
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC，当5【答案】 B
2．(2015·重庆高考)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面区域为三角形，且其面积等于eq \f(4,3)，则m的值为( )
A．－3 B．1
C.eq \f(4,3) D．3
【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－4m,3)，\f(2＋2m,3)))，D(－2m,0)．
S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝eq \f(1,2)|AD|·|yB－yC|＝eq \f(1,2)(2＋2m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋m－\f(2＋2m,3)))＝(1＋m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(m－2,3)))＝eq \f(4,3)，解得m＝1或m＝－3(舍去)．
【答案】 B
3．已知D是由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y≥0，,x＋3y≥0))所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．
【解析】 作出区域D及圆x2＋y2＝4如图所示，
图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别为eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)即tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，tan θ＝tan(α＋β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，
所以θ＝eq \f(π,4)，故弧长l＝θ·R＝eq \f(π,4)×2＝eq \f(π,2).
【答案】 eq \f(π,2)
4．设不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋8≥0，,x＋y≥0，,x≤4))表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值集合．
【解】 (1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x＝4，))解得A(4，－4)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋8＝0，,x＝4，))解得B(4,12)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋8＝0，,x＋y＝0，))解得C(－4,4)．
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
∴S＝eq \f(1,2)×16×8＝64.
(2)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－1＋8≥0，,t＋1≥0，,t≤4，,t∈Z，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t≥－7，,t≥－1，,t≤4，,t∈Z，))亦即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤t≤4，,t∈Z，))
得t＝－1,0,1,2,3,4.
故整数t的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．